2019-天津卷理-05 单-抛物线性质

本题导读

本题考查抛物线的定义与性质，以及双曲线的几何性质。

📌【题干】

Question

（2019年天津卷理）已知抛物线 $y^2=4x$ 的焦点为 $F$，准线为 $l$。若 $l$ 与双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)$ 的两条渐近线分别交于点 $A$ 和点 $B$，且 $|AB|=4|OF|$ ($O$ 为原点)，则双曲线的离心率为()

A. $\sqrt{2}$　　　　　　　B. $\sqrt{3}$　　　　　　　C. 2　　　　　　　D. $\sqrt{5}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 解析抛物线条件：根据 $y^2=4x$ 确定 $p=2$，得出准线 $l$ 和焦点 $F$ 的位置，计算 $|OF|$ 的长度。
2. 求交点坐标：写出双曲线的渐近线方程，将准线方程 $x=-x_0$ 代入，求出交点 $A,B$ 的纵坐标。
3. 建立等量关系：利用 $|AB|=4|OF|$ 列出关于 $a$ 和 $b$ 的等式。
4. 计算离心率：利用 $b$ 与 $a$ 的比例关系，结合 $c^2=a^2+b^2$ 和 $e=\frac{c}{a}$ 求解。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 D

【解析过程】

1. 抛物线部分： 抛物线 $y^2=4x$，其中 $2p=4⟹p=2$。 焦点 $F(1,0)$，准线 $l$ 的方程为 $x=-1$。 原点 $O(0,0)$ 到焦点 $F(1,0)$ 的距离 $|OF|=1$。

2. 双曲线部分： 双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 的渐近线方程为 $y=\pm \frac{b}{a}x$。 将准线 $x=-1$ 代入渐近线方程，得： $y_A=\frac{b}{a}(-1)=-\frac{b}{a}$ $y_B=-\frac{b}{a}(-1)=\frac{b}{a}$ 由此得交点距离 $|AB|=|y_B-y_A|=\left|\frac{b}{a}-(-\frac{b}{a})\right|=\frac{2b}{a}$。

3. 联立求解： 已知 $|AB|=4|OF|$，代入数值： $\frac{2b}{a}=4\times 1⟹\frac{b}{a}=2⟹b=2a$。

4. 求离心率： 双曲线中 $c^2=a^2+b^2=a^2+(2a{)}^2=5a^2$。 离心率 $e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{5a^2}}{a}=\sqrt{5}$。

故选D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 抛物线基础：注意标准方程 $y^2=2px$ 中，准线是 $x=-\frac{p}{2}$，焦点到准线的距离是 $p$。
2. 双曲线渐近线：焦点在 $x$ 轴上的双曲线，渐近线斜率为 $\pm \frac{b}{a}$；若焦点在 $y$ 轴上，则为 $\pm \frac{a}{b}$。
3. 离心率的转化：

• $e=\frac{c}{a}=\sqrt{1+{\left(\frac{b}{a}\right)}^2}$
• 本题中求出 $\frac{b}{a}$ 后，直接代入 $e=\sqrt{1+2^2}=\sqrt{5}$ 速度最快。

📖【试题探源与推广】

Tip

在 Obsidian 笔记中，可以整理对比：

• 椭圆：$0<e<1$，其中 $e=\sqrt{1-{\left(\frac{b}{a}\right)}^2}$。
• 双曲线：$e>1$，其中 $e=\sqrt{1+{\left(\frac{b}{a}\right)}^2}$。
• 抛物线：$e=1$（定义式）。
• 等轴双曲线：$a=b$，则 $e=\sqrt{2}$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.03 抛物线专题全总结
• 18.02 双曲线专题全总结

类题演练 (Links)

• 2008-浙江卷文-08 单-双曲线离心率
• 2008-大纲卷I文-22 解-双曲线渐近线弦长
• 2008-安徽卷文-14 填-双曲线离心率