2019-天津卷理-06 单-对数函数

本题导读

本题考查对数函数的单调性与值域，以及指数函数的单调性与值域。

📌【题干】

Question

（2019年天津卷理）已知 $a={\log }_{5}2$，$b={\log }_{0.5}0.2$，$c=0.5^{0.2}$，则 $a,b,c$ 的大小关系为()

A. $a<c<b$　　B. $a<b<c$　　C. $b<c<a$　　D. $c<a<b$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 分析 $a$：$a={\log }_{5}2$。由于 ${\log }_{5}1<{\log }_{5}2<{\log }_5\sqrt{5}$，可确定 $a$ 在 $(0,0.5)$ 范围内。
2. 分析 $b$：$b={\log }_{0.5}0.2$。利用换底公式或单调性，${\log }_{0.5}0.2$ 的底数和真数都小于 1，其值为正。进一步比较可知 ${\log }_{0.5}0.2>{\log }_{0.5}0.25=2$。
3. 分析 $c$：$c=0.5^{0.2}$。这是底数为 0.5 的指数函数，在 $\mathbb{R}$ 上单调递减。比较其与 $0.5^0$ 和 $0.5^1$ 的关系。
4. 综合排序：将三个数根据与 $0.5$ 和 $1$ 等中间量的相对位置进行排序。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 A

【解析过程】

1. 判断 $a$ 的范围： 因为 $y={\log }_{5}x$ 在 $(0,+\infty )$ 上单调递增，且 $1<2<\sqrt{5}$， 所以 ${\log }_{5}1<{\log }_{5}2<{\log }_5\sqrt{5}$， 即 $0<a<0.5$。

2. 判断 $b$ 的范围： $b={\log }_{0.5}0.2$。 因为底数 $0.5<1$，对数函数 $y={\log }_{0.5}x$ 单调递减， 又 $0.2<0.25$，所以 ${\log }_{0.5}0.2>{\log }_{0.5}0.25=2$。 即 $b>2$。

3. 判断 $c$ 的范围： $c=0.5^{0.2}$。 因为底数 $0.5<1$，指数函数 $y=0.5^x$ 单调递减， 且 $0<0.2<1$， 所以 $0.5^1<0.5^{0.2}<0.5^0$， 即 $0.5<c<1$。

4. 比较结论： 由 $0<a<0.5$，$0.5<c<1$，$b>2$ 可知： $a<c<b$。

故选A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 中间量法的选择：常用的中间量有 $0,\frac{1}{2},1,2$ 等。

• 看到对数，先看是否大于 0（底数真数同侧为正，异侧为负）。
• 看到指数，看其与 $a^0=1$ 的关系。

2. 基准值的构造：如本题中比较 $a$ 与 $0.5$ 时，构造了 ${\log }_5\sqrt{5}$，这是因为 $0.5={\log }_5{5}^{0.5}$。
3. 单调性是灵魂：无论是指数还是对数，底数是否大于 1 决定了函数增减方向，必须优先判断。

📖【试题探源与推广】

Tip

在 Obsidian 笔记中，可以积累以下常用比较模版：

• 同底数比较：直接看单调性。
• 同指数比较：画图或取对数。
• 不同底不同指：引入中间量 $M$。
• 例如：若 $x^a$ 与 ${\log }_{y}z$ 比较，通常选 $1$ 作为分水岭。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练 (Links)

• 2004-辽宁卷-02 单-指数函数的单调性
• 2011-上海卷理-16
• 2012-大纲版理-09