2015-天津卷文-14 填-三角求ω

本题导读

$f(x)=\sqrt{2}\sin \left(\omega x+\frac{\pi }{4}\right)$，对称轴给出 ${\omega }^2=\frac{\pi }{4}+k\pi$，单调性限定 ${\omega }^2\le \frac{3\pi }{4}$，得 $\omega =\frac{\sqrt{\pi }}{2}$。

📌【题干】

Question

（2015年天津卷(文)） 已知函数 $f(x)=\sin \omega x+\cos \omega x$（$\omega >0$），$x\in \mathbf{R}$. 若函数 $f(x)$ 在区间 $(-\omega ,\omega )$ 内单调递增，且函数 $y=f(x)$ 的图象关于直线 $x=\omega$ 对称，则 $\omega$ 的值为$\underline{}$.

🔍【思路分析】

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$f(x)=\sqrt{2}\sin \left(\omega x+\frac{\pi }{4}\right)$，对称轴给出 ${\omega }^2=\frac{\pi }{4}+k\pi$，单调性限定 ${\omega }^2\le \frac{3\pi }{4}$，得 $\omega =\frac{\sqrt{\pi }}{2}$。

✅【答案】

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$\frac{\sqrt{\pi }}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

$f(x)=\sqrt{2}\sin \left(\omega x+\frac{\pi }{4}\right)$。

图象关于直线 $x=\omega$ 对称，则 $\omega \cdot \omega +\frac{\pi }{4}=\frac{\pi }{2}+k\pi$（$k\in \mathbf{Z}$），即 ${\omega }^2=\frac{\pi }{4}+k\pi$。

$x\in (-\omega ,\omega )$ 时 $\omega x+\frac{\pi }{4}\in \left(\frac{\pi }{4}-{\omega }^2,\frac{\pi }{4}+{\omega }^2\right)$，该区间须落在 $\left[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right]$（$k=0$ 的单调增区间）内，即 $\frac{\pi }{4}+{\omega }^2\le \frac{\pi }{2}$，得 ${\omega }^2\le \frac{3\pi }{4}$。

若 $k\ge 1$，则 ${\omega }^2\ge \frac{5\pi }{4}>\frac{3\pi }{4}$，舍去；$k\le -1$ 时 ${\omega }^2<0$，舍去。故 ${\omega }^2=\frac{\pi }{4}$，$\omega =\frac{\sqrt{\pi }}{2}$（$\omega >0$）。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：辅助角公式；正弦型函数的对称轴与单调区间

核心方法：对称轴条件列方程得 $\omega$ 的候选值，再用区间单调性筛选

避坑指南：对称轴方程 ${\omega }^2+\frac{\pi }{4}=\frac{\pi }{2}+k\pi$ 给出无穷多候选，必须用”$(-\omega ,\omega )$ 内单调递增”剔除多余的 $k$；$\omega >0$ 决定开方只取正。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：天津卷以”单调性 + 对称性联立定参数”为特色的经典题型，2018、2019 年天津卷理第 6 题为同型。

结论推广：把”关于直线 $x=\omega$ 对称”换成”关于点 $(\omega ,0)$ 对称”，方程右端变为 $k\pi$，筛选流程一致。

方法推广：三角函数定参问题，先用一个条件列通解，再用另一个条件做不等式筛选，两步缺一不可。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质
• 10.01 两角和与差及辅助角公式

类题演练(Links)

• 2019-天津卷理-06 单-对数函数
• 2018-天津卷理-06 单-图象变换
• 2015-天津卷理-06 单-双曲线渐近线