2019-天津卷理-07 单-三角函数性质

本题导读

本题考查三角函数的图象与性质，以及三角函数图象的平移与伸缩变换。

📌【题干】

Question

（2019年天津卷理）已知函数 $f(x)=A\sin (\omega x+\phi )(A>0,\omega >0,|\phi |<\pi )$ 是奇函数，将 $y=f(x)$ 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为 $g(x)$。若 $g(x)$ 的最小正周期为 $2\pi$，且 $g\left(\frac{\pi }{4}\right)=\sqrt{2}$，则 $f\left(\frac{3\pi }{8}\right)=$ ()

A. $-2$　　　　　　　B. $-\sqrt{2}$　　　　　　　C. $\sqrt{2}$　　　　　　　D. $2$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 利用奇偶性求 $\phi$：因为 $f(x)$ 是定义在 $\mathbb{R}$ 上的奇函数，所以 $f(0)=0$。结合 $|\phi |<\pi$ 即可直接确定 $\phi$ 的值。
2. 图象变换求 $g(x)$ 解析式：横坐标伸长到原来的 2 倍，即自变量 $x$ 变为 $\frac{1}{2}x$。得出 $g(x)$ 包含 $\omega$ 的解析式。
3. 利用周期求 $\omega$：根据 $g(x)$ 的最小正周期 $T=\frac{2\pi }{|\text{系数}|}=2\pi$，解出 $\omega$。
4. 代入定点求 $A$：将已知点 $\left(\frac{\pi }{4},\sqrt{2}\right)$ 代入 $g(x)$，求出振幅 $A$。
5. 代入求值：还原 $f(x)$ 的完整解析式，代入 $x=\frac{3\pi }{8}$ 计算最终结果。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 C

【解析过程】

1. 求 $\phi$： 因为 $f(x)=A\sin (\omega x+\phi )$ 是奇函数， 所以 $f(0)=A\sin \phi =0$。 又因为 $A>0$ 且 $|\phi |<\pi$，所以 $\phi =0$。 因此，$f(x)=A\sin (\omega x)$。

2. 求 $\omega$： 将 $f(x)$ 图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变， 得到 $g(x)=f\left(\frac{1}{2}x\right)=A\sin \left(\frac{\omega }{2}x\right)$。 已知 $g(x)$ 的最小正周期为 $2\pi$， 所以 $T=\frac{2\pi }{\frac{\omega }{2}}=\frac{4\pi }{\omega }=2\pi$。 解得 $\omega =2$。 此时，$g(x)=A\sin x$，$f(x)=A\sin (2x)$。

3. 求 $A$： 已知 $g\left(\frac{\pi }{4}\right)=\sqrt{2}$， 即 $A\sin \left(\frac{\pi }{4}\right)=\sqrt{2}⟹A\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}$。 解得 $A=2$。

4. 计算目标值： 由上可知，$f(x)=2\sin (2x)$。 将 $x=\frac{3\pi }{8}$ 代入得： $f\left(\frac{3\pi }{8}\right)=2\sin \left(2\times \frac{3\pi }{8}\right)=2\sin \left(\frac{3\pi }{4}\right)$ $f\left(\frac{3\pi }{8}\right)=2\times \frac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}$

故选C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 奇偶性与初相 $\phi$ 的关系：

• 若 $y=A\sin (\omega x+\phi )$ 是奇函数，则 $\phi =k\pi (k\in \mathbb{Z})$。
• 若 $y=A\sin (\omega x+\phi )$ 是偶函数，则 $\phi =k\pi +\frac{\pi }{2}(k\in \mathbb{Z})$。

2. 伸缩变换口诀：“长缩变分，短扩乘倍”：

• 横坐标伸长到原来的 $n$ 倍，解析式中 $x$ 替换为 $\frac{1}{n}x$。
• 横坐标缩短到原来的 $\frac{1}{n}$ 倍，解析式中 $x$ 替换为 $nx$。 本题是伸长到 2 倍，所以 $\omega x$ 变为 $\omega (\frac{1}{2}x)=\frac{\omega }{2}x$。

📖【试题探源与推广】

Tip

在 Obsidian 笔记中，可以强调变换的两种顺序：

• 先平移后伸缩：$\sin x\to \sin (x+\phi )\to \sin (\omega x+\phi )$。（此时伸缩的只是 $x$，不影响 $\phi$）
• 先伸缩后平移：$\sin x\to \sin (\omega x)\to \sin \left[\omega \left(x+\frac{\phi }{\omega }\right)\right]=\sin (\omega x+\phi )$。（此时平移的量是 $\frac{\phi }{\omega }$）

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质
• 07.03 三角函数的图象与性质

类题演练 (Links)

• 2009-福建卷理-18
• 2009-辽宁卷-08
• 2010-天津卷文-08 单-三角图象平移伸缩