2010-天津卷文-08 单-三角图象平移伸缩

本题导读

考查三角图象变换。图示函数为 $y = sin (2 x + \frac{π}{3})$ ：先向左平移 $\frac{π}{3}$ ，再横坐标缩短到原来的 $\frac{1}{2}$ ，选 A。

📌【题干】

Question

（2010年天津卷(文)）如图是函数 $y = A sin (ω x + φ)$ ( $x \in R$ ) 在区间 $[- \frac{π}{6}, \frac{5 π}{6}]$ 上的图象，为了得到这个函数的图象，只要将 $y = sin x$ ( $x \in R$ ) 的图象上所有的点()

A. 向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的 $\frac{1}{2}$ 倍，纵坐标不变

B. 向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的 $2$ 倍，纵坐标不变

C. 向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的 $\frac{1}{2}$ 倍，纵坐标不变

D. 向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的 $2$ 倍，纵坐标不变

🔍【思路分析】

破题导航

由图象： $A = 1$ ；零点 $- \frac{π}{6}, \frac{π}{3}, \frac{5 π}{6}$ ，周期 $T = \frac{5 π}{6} - (- \frac{π}{6}) = π$ ， $ω = 2$ 。

$2 \times (- \frac{π}{6}) + φ = 0 \Rightarrow φ = \frac{π}{3}$ ， $y = sin (2 x + \frac{π}{3})$ 。

$y = sin x$ 向左平移 $\frac{π}{3}$ 得 $y = sin (x + \frac{π}{3})$ ，再横坐标缩短到原来的 $\frac{1}{2}$ 得 $y = sin (2 x + \frac{π}{3})$ 。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

由图象知振幅 $A = 1$ 。图象在区间 $[- \frac{π}{6}, \frac{5 π}{6}]$ 上恰好完成一个周期，故 $T = π$ ， $ω = \frac{2 π}{T} = 2$ 。又 $x = - \frac{π}{6}$ 是上升的零点， $2 \times (- \frac{π}{6}) + φ = 0$ ，得 $φ = \frac{π}{3}$ ，即图示函数为 $y = sin (2 x + \frac{π}{3})$ 。将 $y = sin x$ 的图象向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位，得 $y = sin (x + \frac{π}{3})$ ；再把各点横坐标缩短到原来的 $\frac{1}{2}$ （纵坐标不变），得 $y = sin (2 x + \frac{π}{3})$ 。故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：三角函数图象与图象变换

核心方法：由图象定 $A, ω, φ$ ，再按”先平移后伸缩”还原变换过程

避坑指南：先平移 $\frac{π}{3}$ 再横坐标缩短到 $\frac{1}{2}$ ，得到的是 $y = sin (2 x + \frac{π}{3})$ 而非 $y = sin (2 x + \frac{2 π}{3})$ ；若先伸缩后平移，平移量要除以 $ω$ ，两类次序不要混淆。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：图象变换口诀：平移看左加右减（对 $x$ ），伸缩看系数（ $ω$ 倍则横坐标变 $\frac{1}{ω}$ ）。

结论推广：由图象求解析式：振幅看最值，周期看零点间距，相位看特殊点。

方法推广：五点法中的上升零点是定 $φ$ 的最好用的点。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

07.03 三角函数的图象与性质

类题演练 (Links)

2009-天津卷文-07 单-三角图象平移对称

2009-山东卷文-03 单-三角图象平移

2009-大纲卷II文-09 单-正切图象平移重合

2009-新课标卷文-16 填-正弦图象定参求值

∑ ( Math )

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2010-天津卷文-08 单-三角图象平移伸缩

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