2019-天津卷理-14 填-向量坐标

本题导读

本题考查平面向量的坐标表示，以及向量的数量积。

📌【题干】

Question

（2019年天津卷理）在四边形 $ABCD$ 中，$AD\parallel BC$，$AB=2\sqrt{3}$，$AD=5$，$\angle A=30^{\circ }$。点 $E$ 在线段 $CB$ 的延长线上，且 $AE=BE$，则 $\overrightarrow{BD}\cdot \overrightarrow{AE}=$ $\underline{}$。

🔍【思路分析】

破题导航

1. 建立坐标系：由于题目中 $\angle A=30^{\circ }$ 且涉及平行线，建立直角坐标系是最直观的方法。可以以 $A$ 为原点，或者以过 $A$ 且垂直于 $BC$ 的直线为轴。
2. 确定顶点坐标：

• 设 $A(0,0)$。根据 $AD$ 与 $AB$ 的长度及夹角，利用三角函数确定 $D$ 和 $B$ 的坐标。
• 注意 $AD\parallel BC$ 意味着直线 $BC$ 的斜率与 $AD$ 相同。

3. 确定点 E 的坐标：

• 利用 $AE=BE$，说明点 $E$ 在线段 $AB$ 的垂直平分线上，或者利用直线交点法：写出直线 $BC$（即 $BE$ 所在直线）的方程和满足 $AE=BE$ 条件的几何约束，联立求解。

4. 计算数量积：

• 求出向量 $\overrightarrow{BD}$ 和 $\overrightarrow{AE}$ 的坐标表示。
• 利用公式 $\vec{a}\cdot \vec{b}=x_1{x}_2+y_1{y}_2$ 计算结果。

✅【答案】

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$-1$

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 $-1$

【解析过程】 步骤 1：建立坐标系 以 $A$ 为原点 $(0,0)$，以 $AB$ 所在直线为 $x$ 轴建立平面直角坐标系（注：为了计算简便，也可以采用解析中以 $B$ 点相关位置建立系的方法，此处演示以 $A$ 为原点的标准做法）。

• $A(0,0)$
• $B(2\sqrt{3},0)$
• 因为 $\angle DAB=30^{\circ }$ 且 $AD=5$，所以 $D$ 点坐标为： $D(5\cos 30^{\circ },5\sin 30^{\circ })=(\frac{5\sqrt{3}}{2},\frac{5}{2})$。

步骤 2：确定直线 $BC$ 的方程 因为 $AD\parallel BC$，所以直线 $BC$ 的倾斜角也为 $30^{\circ }$。 直线 $BC$ 经过点 $B(2\sqrt{3},0)$，斜率 $k=\tan 30^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{3}$。 方程为：$y-0=\frac{\sqrt{3}}{3}(x-2\sqrt{3})⟹y=\frac{\sqrt{3}}{3}x-2$。

步骤 3：求点 $E$ 的坐标 设 $E(x_E,y_E)$。因为 $E$ 在直线 $BC$ 上，满足 $y_E=\frac{\sqrt{3}}{3}{x}_E-2$。 又已知 $AE=BE$，即 $E$ 在 $AB$ 的垂直平分线上。 线段 $AB$ 的中点为 $(\sqrt{3},0)$，由于 $AB$ 在 $x$ 轴上，其垂直平分线方程为 $x=\sqrt{3}$。 联立方程： $\{\begin{array}{l}x=\sqrt{3}\\ y=\frac{\sqrt{3}}{3}x-2\end{array}⟹\{\begin{array}{l}x=\sqrt{3}\\ y=\frac{\sqrt{3}}{3}(\sqrt{3})-2=-1\end{array}$ 所以 $E(\sqrt{3},-1)$。

步骤 4：计算向量数量积

• $\overrightarrow{BD}=D-B=(\frac{5\sqrt{3}}{2}-2\sqrt{3},\frac{5}{2}-0)=(\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{5}{2})$
• $\overrightarrow{AE}=E-A=(\sqrt{3}-0,-1-0)=(\sqrt{3},-1)$ $\overrightarrow{BD}\cdot \overrightarrow{AE}=\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \sqrt{3}+\frac{5}{2}\cdot (-1)=\frac{3}{2}-\frac{5}{2}=-1$


💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 方法对比：

• 基底法：若不建立坐标系，需选 $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD}$ 为基底，通过 $△ABE$ 的几何关系表示 $\overrightarrow{AE}$，计算较繁琐。
• 坐标法：逻辑简单，只需保证坐标计算准确。

2. 几何隐含条件：$AE=BE$ 意味着 $△ABE$ 是等腰三角形。在坐标系中，这对应于“点 $E$ 在线段 $AB$ 的中垂线上”。
3. 计算细节：涉及 $\sqrt{3}$ 的运算较多，注意在移项和乘方时保持细心。

📖【试题探源与推广】

Tip

在 Obsidian 笔记中，可以总结：

• 优先原点：选垂直线段的交点或对称轴的中心。
• 优先轴向：选已知长度最多的直线作为 $x$ 轴。
• 角度转化：斜率 $k=\tan \alpha$，坐标 $(r\cos \alpha ,r\sin \alpha )$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.02 平面向量的线性运算
• 09.03 平面向量的数量积

类题演练 (Links)

• 2008-湖北卷文-01 单-向量数量积坐标运算
• 2013-湖北卷理-06 单-向量坐标
• 2004-江苏卷-16 填-平面向量的坐标表示与模长计算