2015-天津卷文-13 填-向量数量积

本题导读

以 $B$ 为原点建系，定出 $A,E,F$ 坐标，$\overrightarrow{AE}\cdot \overrightarrow{AF}=\frac{29}{18}$。

📌【题干】

Question

（2015年天津卷(文)） 在等腰梯形 $ABCD$ 中，已知 $AB\parallel DC$，$AB=2$，$BC=1$，$\angle ABC=60^{\circ }$. 点 $E$ 和 $F$ 分别在线段 $BC$ 和 $DC$ 上，且 $\overrightarrow{BE}=\frac{2}{3}\overrightarrow{BC}$，$\overrightarrow{DF}=\frac{1}{6}\overrightarrow{DC}$，则 $\overrightarrow{AE}\cdot \overrightarrow{AF}$ 的值为$\underline{}$.

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以 $B$ 为原点建系，定出 $A,E,F$ 坐标，$\overrightarrow{AE}\cdot \overrightarrow{AF}=\frac{29}{18}$。

✅【答案】

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$\frac{29}{18}$

✍【详细解析】

Abstract

以 $B$ 为原点、$BC$ 所在直线为 $x$ 轴建系：$B=(0,0)$，$C=(1,0)$。

由 $\angle ABC=60^{\circ }$，$AB=2$，得 $A=(2\cos 60^{\circ },2\sin 60^{\circ })=(1,\sqrt{3})$。

$DC\parallel AB$ 且 $|DC|=AB-2\cdot BC\cos 60^{\circ }=1$，$D=C-\frac{1}{2}(1,\sqrt{3})=\left(\frac{3}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$（可由 $AD=BC=1$ 验证）。

$E=\left(\frac{2}{3},0\right)$；$F=D+\frac{1}{6}(C-D)=\left(\frac{3}{2}-\frac{1}{12},\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{12}\right)=\left(\frac{17}{12},\frac{5\sqrt{3}}{12}\right)$。

$\overrightarrow{AE}=\left(-\frac{1}{3},-\sqrt{3}\right)$，$\overrightarrow{AF}=\left(\frac{5}{12},-\frac{7\sqrt{3}}{12}\right)$。

$\overrightarrow{AE}\cdot \overrightarrow{AF}=-\frac{1}{3}\cdot \frac{5}{12}+(-\sqrt{3})\cdot \left(-\frac{7\sqrt{3}}{12}\right)=-\frac{5}{36}+\frac{21}{12}=\frac{29}{18}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：向量数量积的坐标运算；等腰梯形的几何性质

核心方法：建系坐标化，把数量积转化为坐标乘积

避坑指南：等腰梯形上底 $|DC|=AB-2\cdot BC\cos 60^{\circ }=1$ 要先算对；$F$ 在 $DC$ 上且 $\overrightarrow{DF}=\frac{1}{6}\overrightarrow{DC}$ 的方向（从 $D$ 指向 $C$）不能弄反。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：天津卷向量填空的常规题型（多边形背景下的数量积），2017-2019 年天津卷理第 13、14 题为同型。

结论推广：把 $E,F$ 的定比改动，仍用同一坐标系，计算流程完全不变，适合做成变式训练。

方法推广：规则多边形中的向量运算，能建系就建系，用坐标取代复杂的基底分解，正确率更高。

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 09.04 平面向量的坐标运算
• 09.03 平面向量的数量积

类题演练(Links)

• 2015-天津卷理-13 填-解三角形
• 2019-天津卷理-14 填-向量坐标
• 2018-天津卷理-08 单-向量数量积