2019-天津卷理-16 解-二项分布

本题导读

本题考查二项分布 $B$。核心在于公式法、分类讨论法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2019年天津卷理）设甲、乙两位同学上学期间，每天 7:30 之前到校的概率均为 $\frac{2}{3}$。假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立。

(1)用 $X$ 表示甲同学上学期间的三天中 7:30 之前到校的天数，求随机变量 $X$ 的分布列和数学期望；

(2)设 $M$ 为事件“上学期间的三天中，甲同学在 7:30 之前到校的天数比乙同学在 7:30 之前到校的天数恰好多 2”，求事件 $M$ 发生的概率。

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一问（分布列与期望）：

• 识别分布类型：甲在 3 天中每一天到校的概率固定且相互独立，因此 $X$ 服从二项分布，即 $X\sim B(3,\frac{2}{3})$。
• 计算概率：利用公式 $P(X=k)={\mathrm{C}}_n^k{p}^k(1-p{)}^{n-k}$ 计算 $X=0,1,2,3$ 时的概率。
• 计算期望：直接使用二项分布期望公式 $E(X)=np$。

2. 第二问（复合事件概率）：

• 设乙到校天数为 $Y$，则 $Y$ 也服从同样的二项分布。
• 拆解事件 $M$：甲比乙多 2 天的情况只有两种：
  • 情况 A：甲 3 天，乙 1 天（$X=3,Y=1$）。
  • 情况 B：甲 2 天，乙 0 天（$X=2,Y=0$）。
• 计算：由于甲乙互不影响，利用独立性求积，再利用互斥性求和。

✅【答案】

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(1)$X\sim B(3,\frac{2}{3})$，$P(X=k)=C_3^k(\frac{2}{3}{)}^k(\frac{1}{3}{)}^{3-k}$；$E(X)=2$。

(2)$P(M)=\frac{20}{243}$。

✍【详细解析】

Abstract

(1)解： 由题意可知，甲同学在三天中每天是否在 7:30 之前到校是独立的，且概率均为 $p=\frac{2}{3}$。 故 $X\sim B\left(3,\frac{2}{3}\right)$，$X$ 的可能取值为 $0,1,2,3$。 各随机变量取值的概率计算如下：

• $P(X=0)={\mathrm{C}}_3^0{\left(\frac{2}{3}\right)}^0{\left(\frac{1}{3}\right)}^3=\frac{1}{27}$
• $P(X=1)={\mathrm{C}}_3^1{\left(\frac{2}{3}\right)}^1{\left(\frac{1}{3}\right)}^2=3\times \frac{2}{9}\times \frac{1}{3}=\frac{6}{27}=\frac{2}{9}$
• $P(X=2)={\mathrm{C}}_3^2{\left(\frac{2}{3}\right)}^2{\left(\frac{1}{3}\right)}^1=3\times \frac{4}{9}\times \frac{1}{3}=\frac{12}{27}=\frac{4}{9}$
• $P(X=3)={\mathrm{C}}_3^3{\left(\frac{2}{3}\right)}^3{\left(\frac{1}{3}\right)}^0=\frac{8}{27}$

所以，随机变量 $X$ 的分布列为：

$X$	0	1	2	3
$P$	$\frac{1}{27}$	$\frac{2}{9}$	$\frac{4}{9}$	$\frac{8}{27}$

随机变量 $X$ 的数学期望 $E(X)=np=3\times \frac{2}{3}=2$。

(2)解： 设乙同学在三天中 7:30 之前到校的天数为 $Y$，则 $Y\sim B\left(3,\frac{2}{3}\right)$。 事件 $M$ 发生即 $X-Y=2$，对应的情况为： $\{X=3,Y=1\}$ 或 $\{X=2,Y=0\}$。 由于甲、乙到校情况互不影响，且上述两种情况互斥，则： $P(M)=P(X=3)P(Y=1)+P(X=2)P(Y=0)$ 由(1)中的计算结果可知：

• $P(X=3)=\frac{8}{27}$
• $P(Y=1)=P(X=1)=\frac{6}{27}=\frac{2}{9}$
• $P(X=2)=\frac{12}{27}=\frac{4}{9}$
• $P(Y=0)=P(X=0)=\frac{1}{27}$ 代入得： $P(M)=\frac{8}{27}\times \frac{6}{27}+\frac{12}{27}\times \frac{1}{27}=\frac{48+12}{729}=\frac{60}{729}=\frac{20}{243}$ 所以事件 $M$ 发生的概率为 $\frac{20}{243}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 二项分布的判定：实验次数 $n$ 固定，每次实验只有两种对立结果，且每次实验成功的概率 $p$ 不变。
2. 期望的快捷算法：虽然可以用分布列定义求期望，但在确定是二项分布后，直接使用 $E(X)=np$ 更准确高效。
3. 多变量概率处理：处理“甲比乙多…”这类问题时，列出所有满足条件的有序数对 $(x,y)$ 是防止遗漏的最稳妥办法。

📖【试题探源与推广】

Tip

在 Obsidian 笔记中，可以总结：

• 概率和为 1：列完分布列后，务必口算一下所有 $P$ 之和是否等于 1。
• 独立性前提：只有题目明确“互不影响”或“独立”时，才能使用 $P(AB)=P(A)P(B)$。
• 互斥性判定：计算 $P(A\cup B)$ 时，确认 $A,B$ 不能同时发生。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 23.04 二项分布与超几何分布
• 23.03 离散型随机变量及其数字特征

类题演练 (Links)

• 2008-山东卷理-18
• 2013-浙江卷理-19 解-分布列
• 2008-四川卷文-18 解-独立事件与二项分布