2019-天津卷理-19 解-数列通项

本题导读

本题考查等差数列与等比数列的通项公式。核心在于待定系数法、拆项分组法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2019年天津卷理）设 $\{a_n\}$ 是等差数列，$\{b_n\}$ 是等比数列。已知 $a_1=4,b_1=6,b_2=2a_2-2,b_3=2a_3+4$。

(1)求 $\{a_n\}$ 和 $\{b_n\}$ 的通项公式；

(2)设数列 $\{c_n\}$ 满足 $c_1=1$，$c_n=\{\begin{array}{ll}1,& 2^k<n<2^{k+1}\\ b_k,& n=2^k\end{array}$，其中 $k\in {\mathbb{N}}^{\ast }$。

（i）求数列 $\{a_{2^n}(c_{2^n}-1)\}$ 的通项公式；

（ii）求 ${\sum }_{i=1}^{2^n}{a}_i{c}_i$ ($n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$)。

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一问（基本量法）：

• 设 $\{a_n\}$ 公差为 $d$，$\{b_n\}$ 公比为 $q$。
• 将已知条件转化为关于 $d$ 和 $q$ 的方程组。
• 解方程组求出 $d,q$，进而写出通项。

2. 第二问 (i)：

• 根据 $c_n$ 的定义，当 $n=2^k$ 时，$c_n=b_k$。
• 将 $a_{2^n}$ 和 $c_{2^n}=b_n$ 代入，利用平方差公式化简。

3. 第二问 (ii)（分组求和）：

• 观察结构：$a_i{c}_i$ 在大部分项（$i$ 不是 2 的幂）时等于 $a_i\cdot 1$。
• 拆项变形：$a_i{c}_i=a_i+a_i(c_i-1)$。
• 求和分解：$\sum a_i{c}_i={\sum }_{i=1}^{2^n}{a}_i+{\sum }_{i=1}^{2^n}{a}_i(c_i-1)$。
• 前半部分是等差数列 $a_i$ 的前 $2^n$ 项和；后半部分只有当 $i$ 是 2 的幂（即 $i=2^1,2^2,\dots ,2^n$）时才非零，转化为 (i) 中数列的求和。

✅【答案】

点击查看答案

(1)$a_n=3n+1$，$b_n=3\times 2^{n-1}$。

(2)（i）$9\times 4^n-1$；（ii）$27\times 2^{2n-1}+5\times 2^{n-1}-n-12$。

✍【详细解析】

Abstract

(1)解： 设等差数列 $\{a_n\}$ 的公差为 $d$，等比数列 $\{b_n\}$ 的公比为 $q$。 由已知条件得： $\{\begin{array}{l}6q=2(4+d)-2\\ 6q^2=2(4+2d)+4\end{array}⟹\{\begin{array}{l}6q=6+2d\\ 6q^2=12+4d\end{array}$ 由第一式得 $2d=6q-6$，代入第二式： $6q^2=12+2(6q-6)⟹6q^2=12+12q-12⟹6q^2=12q$。 因为 $\{b_n\}$ 是等比数列，$q\ne 0$，所以 $q=2$。 代入得 $d=\frac{6(2)-6}{2}=3$。 所以： $a_n=4+(n-1)\times 3=3n+1$； $b_n=6\times 2^{n-1}=3\times 2^n$。

(2)（i）解： 当 $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ 时，$c_{2^n}=b_n=3\times 2^n$。 且 $a_{2^n}=3\times 2^n+1$。 所以： $a_{2^n}(c_{2^n}-1)=(3\times 2^n+1)(3\times 2^n-1)$ $=(3\times 2^n{)}^2-1^2=9\times 4^n-1$。 数列 $\{a_{2^n}(c_{2^n}-1)\}$ 的通项公式为 $9\times 4^n-1$。

（ii）解： 设 $S_{2^n}={\sum }_{i=1}^{2^n}{a}_i{c}_i$。 利用拆项思想：$a_i{c}_i=a_i+a_i(c_i-1)$。 $S_{2^n}={\sum }_{i=1}^{2^n}{a}_i+{\sum }_{i=1}^{2^n}{a}_i(c_i-1)$ 第一部分（等差数列求和）： ${\sum }_{i=1}^{2^n}{a}_i=\frac{2^n(a_1+a_{2^n})}{2}=\frac{2^n(4+3\cdot 2^n+1)}{2}=\frac{2^n(3\cdot 2^n+5)}{2}=\frac{3}{2}\cdot 4^n+\frac{5}{2}\cdot 2^n$ $=3\times 2^{2n-1}+5\times 2^{n-1}$。

第二部分（稀疏项求和）： 由于 $c_1=1$，且当 $i\ne 2^k$ 时 $c_i=1$，所以 $a_i(c_i-1)$ 只有在 $i=2,4,8,\dots ,2^n$ 时不为 0。 ${\sum }_{i=1}^{2^n}{a}_i(c_i-1)={\sum }_{k=1}^n{a}_{2^k}(c_{2^k}-1)={\sum }_{k=1}^n(9\cdot 4^k-1)$ 利用等比数列求和公式： $=9\times \frac{4(1-4^n)}{1-4}-n=3\times 4(4^n-1)-n=12\cdot 4^n-12-n$ $=12\cdot 2^{2n}-n-12=24\cdot 2^{2n-1}-n-12$。

将两部分合并： $S_{2^n}=(3\times 2^{2n-1}+5\times 2^{n-1})+(24\times 2^{2n-1}-n-12)$ $=27\times 2^{2n-1}+5\times 2^{n-1}-n-12$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 分段数列求和的本质：$c_n$ 的定义看起来吓人，但它在绝大多数位置都是常数。处理这类题目的核心是**“抓大放小”**——先按常数项（或等差项）通算，再单独处理那些“突变点”的增量。
2. 拆项技巧：$ac=a+a(c-1)$ 是一种非常有用的恒等变形，它能将复合乘积数列转化为基础数列与偏差项的和。
3. 指数运算：在最终整理答案时，注意 $4^n=2^{2n}$ 以及 $2^{2n}=2\cdot 2^{2n-1}$ 这种同底数幂的转化，以匹配题目要求的最终形式。

📖【试题探源与推广】

Tip

在 Obsidian 笔记中，可以总结：

• 公式法：等差、等比直接套。
• 倒序相加法：适用于与 $C_n^k$ 或对称结构相关的数列。
• 错位相减法：适用于“等差 $\times$ 等比”结构。
• 裂项相消法：适用于分式结构。
• 分组求和法：适用于复合结构（如本题）。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 19.01 等差数列全总结
• 19.04 数列求和核心方法与裂项模型

类题演练 (Links)

• 2021-天津卷-19 解-数列综合
• 2013-江西卷理-17 解-由 S_n 求 a_n
• 2014-四川卷文-19 解-等差等比数列