2014-四川卷文-19 解-等差等比数列

本题导读

(1) $b_n=2^{a_n}$ 按定义作比；(2) 切线截距定 $d=1$，再错位相减求 $\sum n\cdot 4^n$。

📌【题干】

Question

（2014年四川卷(文)） 设等差数列 $\{a_n\}$ 的公差为 $d$，点 $(a_n,b_n)$ 在函数 $f(x)=2^x$ 的图象上（$n\in {\mathbf{N}}^{\ast }$）.

(1) 证明：数列 $\{b_n\}$ 为等比数列；

(2) 若 $a_1=1$，函数 $f(x)$ 的图象在点 $(a_2,b_2)$ 处的切线在 $x$ 轴上的截距为 $2-\frac{1}{\ln 2}$，求数列 $\{a_n{b}_n^2\}$ 的前 $n$ 项和 $S_n$.

🔍【思路分析】

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(1) $\frac{b_{n+1}}{b_n}=2^d$ 为常数；(2) 由截距得 $a_2=2$，$d=1$，$a_n{b}_n^2=n\cdot 4^n$。

✅【答案】

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(1) 数列 $\{b_n\}$ 为等比数列　(2) $S_n=\frac{(3n-1)4^{n+1}+4}{9}$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 由题意 $b_n=f(a_n)=2^{a_n}$，且 $a_n=a_1+(n-1)d$， 故 $b_n=2^{a_1+(n-1)d}=2^{a_1}\cdot (2^d{)}^{n-1}$。 $\frac{b_{n+1}}{b_n}=2^d$ 为非零常数，所以 $\{b_n\}$ 是首项 $2^{a_1}$、公比 $2^d$ 的等比数列。 (2) $f\acute{(}x)=2^x\ln 2$，切线斜率 $k=2^{a_2}\ln 2$，切线：$y-2^{a_2}=2^{a_2}\ln 2(x-a_2)$。 令 $y=0$ 得 $x$ 轴截距 $a_2-\frac{1}{\ln 2}=2-\frac{1}{\ln 2}$，故 $a_2=2$，$d=a_2-a_1=1$。 于是 $a_n=n$，$b_n=2^n$，$a_n{b}_n^2=n\cdot 4^n$。 $S_n=1\cdot 4+2\cdot 4^2+\cdots +n\cdot 4^n$，$4S_n=1\cdot 4^2+2\cdot 4^3+\cdots +n\cdot 4^{n+1}$， 两式相减：$-3S_n=4+4^2+\cdots +4^n-n\cdot 4^{n+1}=\frac{4(4^n-1)}{3}-n\cdot 4^{n+1}$。 故 $S_n=\frac{n\cdot 4^{n+1}}{3}-\frac{4(4^n-1)}{9}=\frac{(3n-1)4^{n+1}+4}{9}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：等差数列与等比数列的综合

2. 核心方法：点在指数函数图象上 $\to$ $b_n=2^{a_n}$ 化为公比为 $2^d$ 的等比数列

3. 避坑指南：切线截距条件给的是 $a_2=2$（$a_2-\frac{1}{\ln 2}=2-\frac{1}{\ln 2}$）；错位相减求 $\sum k\cdot 4^k$ 时公比是 $4$，差式要按 $4S_n-S_n$ 排对齐。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 等差数列、等比数列的通项与数列求和（错位相减）。

2. 结论推广: $b_n=2^{a_n}=2^{a_1+(n-1)d}=2^{a_1}\cdot (2^d{)}^{n-1}$；$\sum _{k=1}^{n}k{q}^k=\frac{q-(n+1)q^{n+1}+n{q}^{n+2}}{(1-q{)}^2}$。

3. 方法推广: “等差定义等比”构造先按定义作比定公比；差比数列求和首选错位相减。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.04 数列求和核心方法与裂项模型

类题演练 (Links)

• 2014-安徽卷文-18 解-数列求和
• 2014-北京卷文-15 解-数列通项求和