2019-江苏卷-07 填-双曲线方程

本题导读

本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的几何性质。

📌【题干】

Question

（2019年江苏卷）在平面直角坐标系 $xOy$ 中，若双曲线 $x^2-\frac{y^2}{b^2}=1(b>0)$ 经过点 $(3,4)$，则该双曲线的渐近线方程是 $\underline{}$。

🔍【思路分析】

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1. 确定参数 $b$：将点 $(3,4)$ 的坐标代入双曲线标准方程，建立关于 $b$ 的方程并求解。
2. 识别渐近线模型：对于焦点在 $x$ 轴上的双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$，其渐近线方程为 $y=\pm \frac{b}{a}x$。
3. 计算结果：本题中 $a^2=1⟹a=1$，求出 $b$ 后直接代入公式。

✅【答案】

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$y=\pm \sqrt{2}x$

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 $y=\pm \sqrt{2}x$

【解析过程】 因为双曲线 $x^2-\frac{y^2}{b^2}=1$ 经过点 $(3,4)$， 将坐标代入方程得： $3^2-\frac{4^2}{b^2}=1$ $9-\frac{16}{b^2}=1$ $\frac{16}{b^2}=8⟹b^2=2$ 又因为 $b>0$，所以 $b=\sqrt{2}$。 由双曲线方程知 $a^2=1$，即 $a=1$。 由于该双曲线的中心在原点，焦点在 $x$ 轴上， 其渐近线方程为 $y=\pm \frac{b}{a}x$， 代入 $a=1,b=\sqrt{2}$ 得： $y=\pm \sqrt{2}x$

故填：$y=\pm \sqrt{2}x$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 公式记忆：

• 焦点在 $x$ 轴：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1⟹y=\pm \frac{b}{a}x$。
• 焦点在 $y$ 轴：$\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1⟹y=\pm \frac{a}{b}x$。 口诀：始终是 $\frac{\text{y下对应的参数}}{\text{x下对应的参数}}x$。

2. 解题技巧（化 1 为 0 法）：求双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 的渐近线，最简便的方法是将常数项 $1$ 直接改为 $0$，即 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=0$，解得 $y^2=\frac{b^2}{a^2}{x}^2⟹y=\pm \frac{b}{a}x$。
3. 江苏卷风格：解析几何的小题通常难度不大，考查基本公式的准确应用，计算量适中，属于必须拿分的基础题。

📖【试题探源与推广】

Tip

在 Obsidian 笔记中，可以补充以下概念：

• 等轴双曲线：当 $a=b$ 时，渐近线为 $y=\pm x$（互相垂直），离心率 $e=\sqrt{2}$。
• 共轭双曲线：与双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 有相同渐近线的双曲线可设为 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=\lambda (\lambda \ne 0)$。
• 离心率与渐近线斜率的关系：对于焦点在 $x$ 轴的双曲线，$e=\frac{c}{a}=\sqrt{1+(\frac{b}{a}{)}^2}$，即离心率与渐近线斜率 $k$ 满足 $e^2=1+k^2$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结

类题演练 (Links)

• 2013-广东卷理-07 单-双曲线方程
• 2013-江苏卷-03 填-渐近线
• 2013-湖北卷理-05 单-双曲线方程