2019-江苏卷-09 填-几何体体积

本题导读

本题考查长方体的体积公式，以及棱锥的体积公式。

📌【题干】

Question

（2019年江苏卷）如图，长方体 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 的体积是 120，$E$ 为 $C{C}_1$ 的中点，则三棱锥 $E-BCD$ 的体积是 $\underline{}$。

🔍【思路分析】

破题导航

1. 明确长方体体积：设长方体的长、宽、高分别为 $a,b,c$（即 $AB=a,BC=b,C{C}_1=c$），则 $V_{长}=abc=120$。
2. 确定三棱锥的底面与高：

• 三棱锥 $E-BCD$ 的底面是 $△BCD$，其面积 $S_{△BCD}=\frac{1}{2}{S}_{ABCD}=\frac{1}{2}ab$。
• 由于 $C{C}_1\perp$ 平面 $ABCD$，且 $E$ 在 $C{C}_1$ 上，故三棱锥的高 $h$ 即为线段 $CE$ 的长度。

3. 利用中点性质：因为 $E$ 是 $C{C}_1$ 的中点，所以 $CE=\frac{1}{2}C{C}_1=\frac{1}{2}c$。
4. 代入体积公式：利用 $V_{锥}=\frac{1}{3}{S}_{底}\cdot h$ 进行计算。

✅【答案】

点击查看答案

$10$

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 $10$

【解析过程】 设长方体 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 的长、宽、高分别为 $a,b,c$， 则有 $V_{长}=abc=120$。 对于三棱锥 $E-BCD$： 其底面 $△BCD$ 的面积 $S_{底}=\frac{1}{2}AB\cdot BC=\frac{1}{2}ab$； 其高 $h=CE=\frac{1}{2}C{C}_1=\frac{1}{2}c$。 根据棱锥体积公式： $V_{E-BCD}=\frac{1}{3}{S}_{底}\cdot h$ $V_{E-BCD}=\frac{1}{3}\cdot \left(\frac{1}{2}ab\right)\cdot \left(\frac{1}{2}c\right)$ $V_{E-BCD}=\frac{1}{12}abc$ 将 $abc=120$ 代入得： $V_{E-BCD}=\frac{1}{12}\times 120=10$

故填：$10$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 比例关系的转换：在处理这类“大体套小体”的体积问题时，不需要求出具体边长，只需找出底面积比（$\frac{1}{2}$）和高之比（$\frac{1}{2}$），结合棱锥公式自带的系数（$\frac{1}{3}$），即可得到总体积的 $\frac{1}{12}$。
2. 线面垂直的判定：长方体的侧棱垂直于底面，这一性质保证了侧棱（或其一部分）可以直接作为锥体的高，简化了寻找垂足的过程。
3. 计算精度：填空题中这类题目往往涉及简单的分数运算，务必看清是“三棱锥”还是“四棱锥”，避免漏掉 $\frac{1}{3}$ 或底面三角形的 $\frac{1}{2}$。

📖【试题探源与推广】

Tip

在 Obsidian 笔记中，可以总结以下结论（设长方体体积为 $V$）：

• 三棱锥 $B_1-ABC$ 的体积：$V_{B_1-ABC}=\frac{1}{3}\cdot (\frac{1}{2}{S}_{底})\cdot h=\frac{1}{6}V$。
• 三棱锥 $A_1-B_{1}C{D}_1$ 的体积（四个角切掉后的核心四面体）：$V_{核心}=V-4\times (\frac{1}{6}V)=\frac{1}{3}V$。
• 本题模型：若顶点在棱中点，则体积进一步减半。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积
• 13.03 空间点、线、面位置关系

类题演练 (Links)

• 2013-广东卷文-06 单-三视图体积
• 2014-上海卷文-19 解-正四面体展开
• 2014-湖北卷理-08 单-体积公式