2019-江苏卷-16 解-线面平行

本题导读

本题考查线面平行的判定定理。核心在于几何逻辑推导法、辅助线法（中位线）的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2019年江苏卷）如图，在直三棱柱 $ABC-A_1{B}_1{C}_1$ 中，$D,E$ 分别为 $BC,AC$ 的中点，$AB=BC$。

求证：(1)$A_1{B}_1\parallel$ 平面 $DE{C}_1$；

(2)$BE\perp C_{1}E$。

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一问（证明线面平行）：

• 找线线平行：在平面 $DE{C}_1$ 内找一条与 $A_1{B}_1$ 平行的直线。

• 中位线转化：因为 $D,E$ 是中点，所以 $DE\parallel AB$。

• 棱柱性质：直棱柱中 $AB\parallel A_1{B}_1$，从而得到 $A_1{B}_1\parallel DE$。

• 结论：利用线面平行的判定定理得出结论。

2. 第二问（证明线线垂直）：

• 目标转化：证明 $BE\perp C_{1}E$，通常转化为证明 $BE\perp$ 平面 $A_{1}AC{C}_1$。

• 寻找垂直线：

   - 由 $AB=BC$ 且 $E$ 为中点（等腰三角形底边中线），得 $BE \perp AC$。

   - 由直棱柱性质，侧棱 $CC_1 \perp$ 底面 $ABC$，而 $BE \subset$ 底面，故 $CC_1 \perp BE$。

• 判定线面垂直：由于 $AC\cap C{C}_1=C$，判定出 $BE\perp$ 平面 $A_{1}AC{C}_1$。

• 得出结论：利用性质，垂直于平面的直线垂直于面内所有直线。

✅【答案】

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(1)证明见解析。

(2)证明见解析。

✍【详细解析】

Abstract

证明：

(1)证明：

因为 $D,E$ 分别为 $BC,AC$ 的中点，

所以 $DE$ 是 $△ABC$ 的中位线，故 $DE\parallel AB$。

在直三棱柱 $ABC-A_1{B}_1{C}_1$ 中，$AB\parallel A_1{B}_1$，

所以 $A_1{B}_1\parallel DE$。

因为 $DE\subset$ 平面 $DE{C}_1$，$A_1{B}_1\not\subset$ 平面 $DE{C}_1$，

所以 $A_1{B}_1\parallel$ 平面 $DE{C}_1$。


(2)证明：

因为 $AB=BC$，$E$ 为 $AC$ 的中点，

所以 $BE\perp AC$。

因为三棱柱 $ABC-A_1{B}_1{C}_1$ 是直棱柱，

所以 $C{C}_1\perp$ 平面 $ABC$。

因为 $BE\subset$ 平面 $ABC$，所以 $C{C}_1\perp BE$。

又因为 $AC\subset$ 平面 $A_{1}AC{C}_1$，$C{C}_1\subset$ 平面 $A_{1}AC{C}_1$，且 $AC\cap C{C}_1=C$，

所以 $BE\perp$ 平面 $A_{1}AC{C}_1$。

因为 $C_{1}E\subset$ 平面 $A_{1}AC{C}_1$，

所以 $BE\perp C_{1}E$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 判定定理的三要素：证明线面平行时，必须强调“面外一条线”、“面内一条线”以及“两线平行”这三个条件，缺一不可。

2. 直棱柱的隐含条件：直棱柱的侧棱垂直于底面，这是解答立体几何大题时最常用的垂直关系来源。

3. 线面垂直是核心桥梁：证明两条异面直线垂直，绝大多数情况下都要通过“线面垂直”这一中介来完成转化。

📖【试题探源与推广】

Tip

在 Obsidian 笔记中，可以总结：

• 线线平行 $\to$ 线面平行 $\to$ 面面平行。

• 线线垂直 $\to$ 线面垂直 $\to$ 面面垂直。

• 逆向思考：要证 $a\perp b$，先找一个包含 $b$ 的平面 $\alpha$，尝试证明 $a\perp \alpha$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.03 空间点、线、面位置关系

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 2005-北京卷理-16 解-直棱柱的性质

• 2006-北京卷理-17 解-空间向量建系法

• 2010-安徽卷文-19 解-空间向量线面关系与体积