2015-江苏卷-16 解-线面平行

本题导读

本题考查立体几何中基本的线面平行与线面垂直证明。第一问利用三角形中位线证明线线平行，进而推导线面平行；第二问通过两次线面垂直的判定，最终证明异面直线垂直。

📌【题干】

Question

（2015年江苏卷）如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，已知 $A C ⊥ B C$ ， $B C = C C_{1}$ .设 $A B_{1}$ 的中点为 $D$ ， $B_{1} C \cap B C_{1} = E$ .

求证：

(1) $D E ∥$ 平面 $A A_{1} C_{1} C$ ；

(2) $B C_{1} ⊥ A B_{1}$ .

🔍【思路分析】

破题导航

第一问（线面平行）：

找平行线：在平面 $A A_{1} C_{1} C$ 内寻找一条与 $D E$ 平行的直线。

利用中点：由直三棱柱性质，侧面 $B C C_{1} B_{1}$ 为平行四边形，故对角线交点 $E$ 为 $B_{1} C$ 的中点。

中位线性质：在 $△ A B_{1} C$ 中， $D, E$ 分别为两边中点，则 $D E ∥ A C$ 。

第二问（线面垂直）：

目标转化：证明 $B C_{1} ⊥$ 平面 $A B_{1} C$ 。

证明线面垂直：

首先证明 $A C ⊥$ 平面 $B C C_{1} B_{1}$ （利用直棱柱性质 $A C ⊥ B C$ ， $A C ⊥ C C_{1}$ ）。

从而得到 $A C ⊥ B C_{1}$ 。

其次利用 $B C = C C_{1}$ 判定侧面为正方形，得 $B C_{1} ⊥ B_{1} C$ 。

得出结论：由线面垂直性质得 $B C_{1} ⊥ A B_{1}$ 。

✅【答案】

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又因为 $A B_{1} \subset$ 平面 $B_{1} A C$ ，所以 $B C_{1} ⊥ A B_{1}$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 证明： $D E ∥$ 平面 $A A_{1} C_{1} C$ 因为棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 是直三棱柱，所以侧面 $B C C_{1} B_{1}$ 是矩形。由矩形对角线互相平分可知，点 $E$ 为 $B_{1} C$ 的中点。又因为 $D$ 为 $A B_{1}$ 的中点，在 $△ A B_{1} C$ 中，根据三角形中位线定理，得 $D E ∥ A C$ 。因为 $D E \neq \subset$ 平面 $A A_{1} C_{1} C$ ， $A C \subset$ 平面 $A A_{1} C_{1} C$ ，所以 $D E ∥$ 平面 $A A_{1} C_{1} C$ 。

(2) 证明： $B C_{1} ⊥ A B_{1}$ 因为棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 是直三棱柱，所以 $C C_{1} ⊥$ 平面 $A B C$ 。又因为 $A C \subset$ 平面 $A B C$ ，所以 $A C ⊥ C C_{1}$ 。已知 $A C ⊥ B C$ ，且 $B C \cap C C_{1} = C$ ， $B C, C C_{1} \subset$ 平面 $B C C_{1} B_{1}$ ，所以 $A C ⊥$ 平面 $B C C_{1} B_{1}$ 。因为 $B C_{1} \subset$ 平面 $B C C_{1} B_{1}$ ，所以 $B C_{1} ⊥ A C$ 。又因为 $B C = C C_{1}$ ，且侧面 $B C C_{1} B_{1}$ 是矩形，所以矩形 $B C C_{1} B_{1}$ 是正方形，因此对角线 $B C_{1} ⊥ B_{1} C$ 。因为 $A C \cap B_{1} C = C$ ，且 $A C, B_{1} C \subset$ 平面 $B_{1} A C$ ，所以 $B C_{1} ⊥$ 平面 $B_{1} A C$ 。又因为 $A B_{1} \subset$ 平面 $B_{1} A C$ ，所以 $B C_{1} ⊥ A B_{1}$ 。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：三角形中位线定理的应用；线面平行判定定理；线面垂直判定定理与性质定理。

核心方法：线线平行 $\to$ 线面平行；线面垂直 $\to$ 线线垂直。

避坑指南：在利用线面垂直判定定理时，必须强调两条直线是“相交”的，例如 $A C \cap B_{1} C = C$ 。

📖【试题探源与推广】

Tip

*结论推广: 若直三棱柱的底面是直角三角形且侧面是正方形，则存在多组异面直线垂直关系。 *方法推广: 证明异面直线垂直，常用的策略是寻找其中一条直线所在的垂面。

相关知识点：面面垂直的性质、直棱柱的定义、正方形的性质。

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

13.04 立体几何高阶：定理、模型与性质

17.05 直线与圆的位置关系

类题演练(Links)

2009-江苏卷-16

2019-江苏卷-16 解-线面平行

2014-江苏卷-16 解-直线与平面平行判定

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