2019-江苏卷-17 解-椭圆定义

本题导读

本题考查椭圆的标准方程与定义。核心在于待定系数法、联立方程组法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2019年江苏卷）如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，椭圆 $C : \frac{x ^{2}}{a ^{2}} + \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的焦点为 $F_{1} (- 1, 0)$ ， $F_{2} (1, 0)$ 。过 $F_{2}$ 作 $x$ 轴的垂线 $l$ ，在 $x$ 轴的上方， $l$ 与圆 $F_{2} : (x - 1)^{2} + y^{2} = 4 a^{2}$ 交于点 $A$ ，与椭圆 $C$ 交于点 $D$ 。连结 $A F_{1}$ 并延长交圆 $F_{2}$ 于点 $B$ ，连结 $B F_{2}$ 交椭圆 $C$ 于点 $E$ ，连结 $D F_{1}$ 。已知 $D F_{1} = \frac{5}{2}$ 。

(1)求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)求点 $E$ 的坐标。

🔍【思路分析】

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第一问（求椭圆方程）：

已知焦点，得到 $c = 1$ ， $F_{1} F_{2} = 2$ 。

在直角三角形 $△ D F_{1} F_{2}$ 中，利用勾股定理求出 $D F_{2}$ 。

根据椭圆定义 $2 a = D F_{1} + D F_{2}$ 求出 $a$ ，进而得到 $b^{2} = a^{2} - c^{2}$ 。

第二问（求点 E 坐标）：

思路一（代数法）：确定点 $A$ 坐标 $\to$ 求直线 $A F_{1}$ 方程 $\to$ 联立圆求点 $B$ 坐标 $\to$ 求直线 $B F_{2}$ 方程 $\to$ 联立椭圆求点 $E$ 。

思路二（几何法）：连结 $E F_{1}$ 。利用圆的半径 $B F_{2} = 2 a$ 和椭圆定义 $E F_{1} + E F_{2} = 2 a$ 推导出 $E F_{1} = E B$ 。通过等腰三角形关系证明 $E F_{1} ∥ A F_{2}$ ，从而确定点 $E$ 的横坐标为 $- 1$ 。

✅【答案】

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(1)椭圆 $C$ 的标准方程为 $\frac{x ^{2}}{4} + \frac{y ^{2}}{3} = 1$ 。

(2)点 $E$ 的坐标为 $(- 1, - \frac{3}{2})$ 。

✍【详细解析】

Abstract

(1)解： 设椭圆 $C$ 的焦距为 $2 c$ 。因为 $F_{1} (- 1, 0)$ ， $F_{2} (1, 0)$ ，所以 $F_{1} F_{2} = 2$ ，即 $c = 1$ 。因为 $A F_{2} ⊥ x$ 轴，点 $D$ 在垂线上，所以 $△ D F_{1} F_{2}$ 是直角三角形。已知 $D F_{1} = \frac{5}{2}$ ， $F_{1} F_{2} = 2$ ，由勾股定理得： $D F_{2} = D F_{1}^{2} - F_{1} F_{2}^{2} = (\frac{5}{2})^{2} - 2^{2} = \frac{25}{4} - 4 = \frac{3}{2}$ 。根据椭圆定义： $2 a = D F_{1} + D F_{2} = \frac{5}{2} + \frac{3}{2} = 4$ ，所以 $a = 2$ ， $a^{2} = 4$ 。由 $b^{2} = a^{2} - c^{2} = 4 - 1 = 3$ 。因此，椭圆 $C$ 的标准方程为 $\frac{x ^{2}}{4} + \frac{y ^{2}}{3} = 1$ 。

(2)解（推荐几何法）：

由(1)知 $a = 2$ ，圆 $F_{2}$ 的方程为 $(x - 1)^{2} + y^{2} = 16$ ，半径 $R = 2 a = 4$ 。连结 $E F_{1}$ 。在圆 $F_{2}$ 中， $F_{2} B$ 是半径，所以 $F_{2} B = 2 a = 4$ 。因为点 $E$ 在椭圆上，由定义知 $E F_{1} + E F_{2} = 2 a = 4$ 。由图可知 $F_{2} B = E F_{2} + E B$ ，所以 $E F_{1} + E F_{2} = E F_{2} + E B$ ，由此得 $E F_{1} = E B$ ，故 $△ E F_{1} B$ 是等腰三角形， $∠ B F_{1} E = ∠ B$ 。又在圆 $F_{2}$ 中， $F_{2} A = F_{2} B$ （半径），故 $△ F_{2} A B$ 是等腰三角形， $∠ A = ∠ B$ 。因此 $∠ B F_{1} E = ∠ A$ ，故 $E F_{1} ∥ A F_{2}$ 。因为 $A F_{2} ⊥ x$ 轴，所以 $E F_{1} ⊥ x$ 轴。点 $E$ 的横坐标与 $F_{1}$ 相同，即 $x_{E} = - 1$ 。将 $x = - 1$ 代入椭圆方程 $\frac{x ^{2}}{4} + \frac{y ^{2}}{3} = 1$ ： $\frac{1}{4} + \frac{y ^{2}}{3} = 1 ⟹ \frac{y ^{2}}{3} = \frac{3}{4} ⟹ y^{2} = \frac{9}{4}$ 。解得 $y = \pm \frac{3}{2}$ 。由图可知点 $E$ 在 $x$ 轴下方，所以 $y_{E} = - \frac{3}{2}$ 。故点 $E$ 的坐标为 $(- 1, - \frac{3}{2})$ 。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

定义是首选：在处理椭圆上的动点与焦点的距离关系时，优先考虑 $P F_{1} + P F_{2} = 2 a$ ，这往往能避开复杂的联立方程。

隐藏的等腰三角形：本题中 $F_{2} B = 2 a$ 是个非常隐蔽的条件，结合椭圆定义转化出 $E F_{1} = E B$ 是解题的突破口。

计算与几何的平衡：解析几何不代表只能“死算”。看到垂直、半径、角平分线等条件时，应先观察是否存在几何对称性。

📖【试题探源与推广】

Tip

在 Obsidian 笔记中，可以整理此类“圆+圆锥曲线”的组合模型：

圆半径与长轴关系：当圆半径等于 $2 a$ 或 $2 c$ 时，通常会产生等腰三角形或垂直关系。

平行线的判定：若发现 $E F_{1}$ 与 $A F_{2}$ 的分量关系一致，可直接锁定坐标。

图形辅助：在草稿纸上精准画图，有助于发现 $E F_{1} ∥ A F_{2}$ 这种关键的几何直觉。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

18.01 椭圆专题全总结

16.02 直线方程的形式与直线系

类题演练 (Links)

2013-新课标II卷理-11 单-抛物线定义

2013-湖南卷理-21 解-抛物线定义

2014-广东卷理-20 解-椭圆的标准方程

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