2019-江苏卷-25 解-分布列

本题导读

本题考查离散型随机变量的分布列。核心在于分类讨论法、间接法（对立事件）的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2019年江苏卷）在平面直角坐标系 $xOy$ 中，设点集： $A_n=\{(0,0),(1,0),(2,0),\dots ,(n,0)\}$， $B_n=\{(0,1),(n,1)\}$， $C_n=\{(0,2),(1,2),(2,2),\dots ,(n,2)\}$，$n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$。 令 $M_n=A_n\cup B_n\cup C_n$。从集合 $M_n$ 中任取两个不同的点，用随机变量 $X$ 表示它们之间的距离。

(1)当 $n=1$ 时，求 $X$ 的概率分布；

(2)对给定的正整数 $n$ ($n\ge 3$)，求概率 $P(X\le n)$（用 $n$ 表示）。

🔍【思路分析】

破题导航

1. 集合规模分析：

• $A_n$ 有 $n+1$ 个点，$B_n$ 有 $2$ 个点，$C_n$ 有 $n+1$ 个点。
• 总点数 $|M_n|=(n+1)+2+(n+1)=2n+4$。
• 任取两点的总方法数为 $C_{2n+4}^2$。

2. 第一问（n=1）：

• 此时总点数为 $2(1)+4=6$ 个点。
• 列举所有可能的点对距离，计算每种距离出现的频数，得出概率分布列。

3. 第二问（n≥3）：

• 对立事件：$P(X\le n)=1-P(X>n)$。
• 寻找 $X>n$ 的点对：设两点坐标分别为 $(x_1,y_1)$ 和 $(x_2,y_2)$。
• 距离公式 $X=\sqrt{(x_1-x_2{)}^2+(y_1-y_2{)}^2}$。
• 若 $y_1=y_2$，则 $X=|x_1-x_2|\le n$，不符合。
• 若 $|y_1-y_2|=1$，则 $X=\sqrt{(x_1-x_2{)}^2+1}$。要使 $X>n$，需 $(x_1-x_2{)}^2+1>n^2$，即 $(x_1-x_2{)}^2\ge n^2$。唯一可能的情况是 $|x_1-x_2|=n$。
• 若 $|y_1-y_2|=2$，则 $X=\sqrt{(x_1-x_2{)}^2+4}$。要使 $X>n$，需 $(x_1-x_2{)}^2+4>n^2$。在 $n\ge 3$ 时，若 $|x_1-x_2|\le n-1$，则 $(n-1{)}^2+4=n^2-2n+5$，当 $n\ge 3$ 时，$-2n+5\le -1$，故 $X\le n$。唯一可能的情况是 $|x_1-x_2|=n$。

✅【答案】

点击查看答案

(1)$P(X=1)=\frac{7}{10}$，$P(X=\sqrt{2})=\frac{1}{5}$，$P(X=2)=\frac{1}{10}$（当 $n=1$）。

(2)$P(X\le n)=1-\frac{6}{(n+2)(2n+3)}$。

✍【详细解析】

Abstract

(1)解： 当 $n=1$ 时，$M_1=\{(0,0),(1,0),(0,1),(1,1),(0,2),(1,2)\}$。共 6 个点。 基本事件总数为 $C_6^2=15$。 $X$ 的可能取值为：$1,\sqrt{2},2,\sqrt{5}$。

• $X=1$ 的点对：相邻的横向或纵向点，共 7 对。$P(X=1)=\frac{7}{15}$。
• $X=\sqrt{2}$ 的点对：单位正方形的对角线，共 4 对。$P(X=\sqrt{2})=\frac{4}{15}$。
• $X=2$ 的点对：$(0,0)$与$(0,2)$，$(1,0)$与$(1,2)$，共 2 对。$P(X=2)=\frac{2}{15}$。
• $X=\sqrt{5}$ 的点对：$(0,0)$与$(1,2)$，$(1,0)$与$(0,2)$，共 2 对。$P(X=\sqrt{5})=\frac{2}{15}$。 其分布列为：

$X$	$1$	$\sqrt{2}$	$2$	$\sqrt{5}$
$P$	$\frac{7}{15}$	$\frac{4}{15}$	$\frac{2}{15}$	$\frac{2}{15}$

(2)解： 总方法数为 $C_{2n+4}^2$。考虑 $X>n$ 的情况：

1. 两点分别在 $y=0$ 层和 $y=1$ 层： $X=\sqrt{(x_1-x_2{)}^2+1}>n⟺(x_1-x_2{)}^2\ge n^2$。 唯一可能：$|x_1-x_2|=n$。点对为 $\{(0,0),(n,1)\}$ 和 $\{(n,0),(0,1)\}$，共 2 种。
2. 两点分别在 $y=1$ 层和 $y=2$ 层： 同理，唯一可能：$|x_1-x_2|=n$。点对为 $\{(0,1),(n,2)\}$ 和 $\{(n,1),(0,2)\}$，共 2 种。
3. 两点分别在 $y=0$ 层和 $y=2$ 层： $X=\sqrt{(x_1-x_2{)}^2+4}>n⟺(x_1-x_2{)}^2+4>n^2$。 当 $n\ge 3$ 时，若 $|x_1-x_2|=n-1$，则 $(n-1{)}^2+4=n^2-2n+5<n^2$（因 $n\ge 3⟹2n>5$）。 故必须 $|x_1-x_2|=n$。点对为 $\{(0,0),(n,2)\}$ 和 $\{(n,0),(0,2)\}$，共 2 种。
4. 同层点：$X=|x_1-x_2|\le n$，无 $X>n$ 情况。

综上，$X>n$ 的取法共有 $2+2+2=6$ 种。 则 $P(X>n)=\frac{6}{C_{2n+4}^2}$。 所以 $P(X\le n)=1-\frac{6}{C_{2n+4}^2}$。 注：$C_{2n+4}^2=\frac{(2n+4)(2n+3)}{2}=(n+2)(2n+3)$。 故 $P(X\le n)=1-\frac{6}{(n+2)(2n+3)}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 压轴题的切入点：面对大批量的可能情况，正难则反。判断 $X>n$ 远比判断 $X\le n$ 简单，因为大部分点对距离都小于或等于 $n$。
2. $n\ge 3$ 的限制用意：在 $n=1$ 或 $n=2$ 时，$\sqrt{(n-1{)}^2+4}$ 可能会大于 $n$，从而产生额外的 $X>n$ 的情况。题目给定 $n\ge 3$ 是为了锁定只有横跨两端（横坐标差为 $n$）的点对才可能满足条件。
3. 几何直观：将点集在大脑中构造成三行点阵。$B_n$ 层只有两个端点，这种稀疏性是解题的突破口。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 分类标准：按纵坐标差 $\Delta y$ 分类：$0,1,2,\dots$。
• 极端位置法：在处理不等式约束时，优先检查区间端点（如 $x=0,n$）。
• 组合数应用：总数 $C_{Total}^2$ 是此类“任取两点”问题的标准分母。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 23.03 离散型随机变量及其数字特征
• 15.01 古典概型

类题演练 (Links)

• 2014-江苏卷-22 解-分布列与期望
• 2016-天津卷理-16
• 2022-浙江卷-15 填-古典概型