2019-浙江卷-02 单-双曲线渐近线

本题导读

本题考查双曲线的渐近线方程，以及双曲线的离心率。

📌【题干】

Question

（2019年浙江卷）渐近线方程为 $x\pm y=0$ 的双曲线的离心率是()

A. $\frac{\sqrt{2}}{2}$　　　　　　　B. $1$　　　　　　　C. $\sqrt{2}$　　　　　　　D. $2$

🔍【思路分析】

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1. 转化渐近线方程：将已知方程 $x\pm y=0$ 转化为我们熟悉的斜截式形式，即 $y=\pm x$。
2. 寻找 $a,b$ 的关系：根据双曲线的性质，无论是焦点在 $x$ 轴（渐近线为 $y=\pm \frac{b}{a}x$）还是焦点在 $y$ 轴（渐近线为 $y=\pm \frac{a}{b}x$），对比斜率均可得出 $\frac{b}{a}=1$ 或 $\frac{a}{b}=1$，从而推导出实半轴 $a$ 与虚半轴 $b$ 相等，即 $a=b$。
3. 计算离心率：利用双曲线的基本关系式 $c^2=a^2+b^2$，将 $b$ 替换为 $a$，求出 $c$ 与 $a$ 的比例，即为离心率 $e=\frac{c}{a}$。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 C

【解析过程】 已知双曲线的渐近线方程为 $x\pm y=0$，移项可得： $y=\pm x$ 这说明渐近线的斜率 $k=\pm 1$。

设双曲线的标准方程中实半轴长为 $a$，虚半轴长为 $b$。 不论双曲线的焦点在 $x$ 轴上还是 $y$ 轴上，其渐近线的斜率绝对值均为 $\frac{b}{a}$ 或 $\frac{a}{b}$。 由此可得： $\frac{b}{a}=1⟹a=b$

在双曲线中，存在基本几何关系： $c^2=a^2+b^2$ 将 $a=b$ 代入上式，得： $c^2=a^2+a^2=2a^2$ 因为 $c>0,a>0$，两边开平方得： $c=\sqrt{2}a$

根据离心率的定义 $e=\frac{c}{a}$： $e=\frac{\sqrt{2}a}{a}=\sqrt{2}$

对照选项，正确答案为 C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 排除法技巧：做圆锥曲线的选择题，第一反应应该是检查范围。双曲线的离心率定义是 $e>1$，所以选项 A（$\frac{\sqrt{2}}{2}<1$）和选项 B（$e=1$ 是抛物线）可以直接排除，瞬间变成二选一。
2. 焦点位置无关性：本题并没有告诉你焦点在哪条轴上，因为对于渐近线互相垂直的情况（$a=b$），不论焦点在哪，离心率都是固定的 $\sqrt{2}$。

📖【试题探源与推广】

Tip

在 Obsidian 笔记中，强烈建议单独建立一张关于**【等轴双曲线】**的速记卡片。只要题目中出现以下任何一个条件，它们都是等价的，可以直接互相推导：

• 定义：实轴长与虚轴长相等（即 $a=b$）的双曲线。
• 渐近线夹角：两条渐近线互相垂直（斜率乘积为 $-1$，即 $y=x$ 与 $y=-x$）。
• 离心率：离心率恒定为 $e=\sqrt{2}$。
• 标准方程：可以统一写成 $x^2-y^2=\lambda$ （$\lambda \ne 0$）。
• 反比例函数：初中学的反比例函数 $y=\frac{k}{x}$（即 $xy=k$）本质上就是把等轴双曲线 $x^2-y^2=a^2$ 旋转 $45^{\circ }$ 得到的。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结

类题演练 (Links)

• 2014-浙江卷理-16 填-渐近线
• 2008-安徽卷文-14 填-双曲线离心率
• 2008-浙江卷文-08 单-双曲线离心率