2019-浙江卷-09 单-分段函数零点

本题导读

本题考查分段函数的零点，以及利用导数研究函数的单调性与极值。

📌【题干】

Question

（2019年浙江卷）已知 $a,b\in \mathbb{R}$，函数 $f(x)=\{\begin{array}{ll}x,& x<0\\ \frac{1}{3}{x}^3-\frac{1}{2}(a+1)x^2+ax,& x\ge 0\end{array}$，若函数 $y=f(x)-ax-b$ 恰有三个零点，则()

A. $a<-1,b<0$　　　　　　　　　　　　　　B. $a<-1,b>0$

C. $a>-1,b<0$　　　　　　　　　　　　　　D. $a>-1,b>0$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 构造分段解析式：令 $g(x)=f(x)-ax-b$。

• 当 $x<0$ 时，$g(x)=x-ax-b=(1-a)x-b$。这是一个直线段，最多有 1 个零点。
• 当 $x\ge 0$ 时，$g(x)=\frac{1}{3}{x}^3-\frac{1}{2}(a+1)x^2-b$。这是一个三次函数，最多有 2 个零点（在 $[0,+\infty )$ 范围内）。

2. 分配零点个数：要使总共有 3 个零点，唯一的可能分配是：$x<0$ 区间有 1 个，$x\ge 0$ 区间有 2 个。
3. 分析 $x\ge 0$ 部分：

• 求导 $g^{\prime }(x)=x^2-(a+1)x=x[x-(a+1)]$。
• 若 $a+1\le 0$（即 $a\le -1$），$g^{\prime }(x)\ge 0$ 在 $[0,+\infty )$ 恒成立，$g(x)$ 单调递增，最多只有 1 个零点，不符。
• 因此必须满足 $a+1>0$ 即 $a>-1$。

4. 数形结合定 $b$：

• 在 $x\ge 0$ 段，要产生 2 个零点，$g(0)$ 必须大于 0 且极小值必须小于 0。
• $g(0)=-b>0⟹b<0$。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 C

【解析过程】

第一步：分析 $x<0$ 的情况 令 $g(x)=f(x)-ax-b$。当 $x<0$ 时： $g(x)=x-ax-b=(1-a)x-b$ 要使此段有一个零点 $x_0=\frac{b}{1-a}$，必须满足 $x_0<0$。

第二步：分析 $x\ge 0$ 的情况 当 $x\ge 0$ 时： $g(x)=\frac{1}{3}{x}^3-\frac{1}{2}(a+1)x^2-b$ 求导：$g^{\prime }(x)=x^2-(a+1)x=x(x-(a+1))$ 令 $g^{\prime }(x)=0$，得 $x_1=0,x_2=a+1$。

1. 若 $a+1\le 0$，则 $g^{\prime }(x)\ge 0$ 在 $[0,+\infty )$ 恒成立，$g(x)$ 单调递增，此时在该区间最多只有 1 个零点。总零点数无法达到 3 个。
2. 若 $a+1>0$（即 $a>-1$），$g(x)$ 在 $[0,a+1]$ 递减，在 $[a+1,+\infty )$ 递增。 要使该区间有 2 个零点，必须满足：

• 端点值 $g(0)>0⟹-b>0⟹\mathbf{b}<0$。

• 极小值 $g(a+1)<0$。

第三步：验证与总结 当 $a>-1$ 且 $b<0$ 时：

• 对于 $x<0$ 段：零点 $x_0=\frac{b}{1-a}$。由于 $b<0$ 且 $1-a$ 在 $a$ 较小时为正（即使 $1-a<0$，对应的 $a>1$ 也会让直线斜率为负从而经过负半轴），只要保证直线与负半轴有交点即可。
• 对于 $x\ge 0$ 段：$g(0)=-b>0$，函数先降后升，极小值 $g(a+1)=\frac{1}{3}(a+1{)}^3-\frac{1}{2}(a+1{)}^3-b=-\frac{1}{6}(a+1{)}^3-b$。只要 $-b<\frac{1}{6}(a+1{)}^3$，即存在两个正零点。

综上所述，必须满足 $a>-1$ 且 $b<0$。

对照选项，正确答案为 C。


💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 零点问题的转化：$f(x)-ax-b=0⟺f(x)=ax+b$。本题也可以理解为分段函数 $f(x)$ 的图象与动直线 $y=ax+b$ 的交点问题。
2. 三次函数的图象特征：掌握 $y=x^2(x-k)$ 类型的图象分布是解导数小题的捷径。本题中 $x\ge 0$ 的部分本质上是平移后的三次函数，其单调性由导数的两个根决定。

📖【试题探源与推广】

Tip

在 Obsidian 笔记中，处理分段函数零点个数问题建议遵循以下流程：

1. 区间拆分：分别讨论各段函数在对应定义域内的单调性与极值。
2. 个数分配：如果总个数为 $N$，列出所有可能的分配方案（如 $1+(N-1),2+(N-2)\dots$）。
3. 边界衔接：特别注意分界点（如本题的 $x=0$）的函数值，它往往是决定零点能否“跨域”产生的关键。
4. 参数约束：将图形特征转化为解析式不等式组（如 $f(0)\cdot f(x_{极})<0$），求解参数范围。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 08.01 函数图象变换、模型与零点
• 20.03 导数研究单调性与极值最值

类题演练 (Links)

• 2011-天津卷理-19
• 2013-天津卷文-20 解-分段函数导数切线
• 2021-新高考II卷-21 解-概率综合