2021-新高考II卷-21 解-概率综合

本题导读

本题考查离散型随机变量的数学期望定义。核心在于构造函数法、导数判定法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2021年新高考II卷）一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第 0 代，经过一次繁殖后为第 1 代，再经过一次繁殖后为第 2 代……，该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列．设 $X$ 表示 1 个微生物个体繁殖下一代的个数，$P(X=i)=p_i(i=0,1,2,3)$。

（1）已知 $p_0=0.4,p_1=0.3,p_2=0.2,p_3=0.1$，求 $E(X)$；

（2）设 $p$ 表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，$p$ 是关于 $x$ 的方程 $p_0+p_{1}x+p_2{x}^2+p_3{x}^3=x$ 的一个最小正实根．求证：当 $E(X)⩽1$ 时，$p=1$；当 $E(X)>1$ 时，$p<1$；

（3）根据你的理解说明（2）问结论的实际含义．

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一问（期望计算）：直接利用离散型随机变量期望公式 $E(X)=\sum i\cdot p_i$ 计算。
2. 第二问（核心证明）：

• 构造函数：设 $f(x)=p_3{x}^3+p_2{x}^2+p_{1}x+p_0-x$。
• 寻找固定零点：利用 $\sum p_i=1$，易证 $f(1)=0$，即 $1$ 始终是方程的一个根。
• 导数与期望的关联：对 $f(x)$ 求导，发现 $f^{\prime }(1)=3p_3+2p_2+p_1-1=E(X)-1$。
• 单调性讨论：
  • 若 $E(X)⩽1$，则 $f^{\prime }(1)⩽0$，结合 $f^{\prime }(x)$ 递增证明 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上递减，得出唯一根为 $1$。
  • 若 $E(X)>1$，则 $f^{\prime }(1)>0$，利用极值点及 $f(0)=p_0>0$ 证明在 $(0,1)$ 内存在另一个更小的零点。

3. 第三问（应用解释）：将数学中的概率结论翻译成生物学中的“生存”或“灭绝”描述。

✅【答案】

点击查看答案

当 $x\in [0,1)$ 时，$f(x)>f(1)=0$

✍【详细解析】

Abstract

（1）求 $E(X)$ 根据离散型随机变量数学期望的定义： $E(X)=0\cdot p_0+1\cdot p_1+2\cdot p_2+3\cdot p_3$ 代入已知数据： $E(X)=0\times 0.4+1\times 0.3+2\times 0.2+3\times 0.1=0.3+0.4+0.3=1$。

（2）证明灭绝概率 $p$ 的结论 构造函数 $f(x)=p_3{x}^3+p_2{x}^2+p_{1}x+p_0-x$，其定义域为 $[0,1]$。 由题意知 $p_0+p_1+p_2+p_3=1$。 则 $f(1)=p_3+p_2+p_1+p_0-1=1-1=0$。即 $x=1$ 始终是方程的一个根。 求导得：$f^{\prime }(x)=3p_3{x}^2+2p_{2}x+p_1-1$。 注意到：$f^{\prime }(1)=3p_3+2p_2+p_1-1=(0\cdot p_0+1\cdot p_1+2\cdot p_2+3\cdot p_3)-1=E(X)-1$。

]

情况 ①：当 $E(X)⩽1$ 时 此时 $f^{\prime }(1)⩽0$。 由于 $p_i⩾0$，导函数 $f^{\prime }(x)$ 在 $[0,1]$ 上单调递增。 因此对任意 $x\in [0,1]$，有 $f^{\prime }(x)⩽f^{\prime }(1)⩽0$。 这说明 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上单调递减。 因为 $f(1)=0$，所以当 $x\in [0,1)$ 时，$f(x)>f(1)=0$。 故方程在 $(0,1)$ 内没有实根，最小正实根必为 $p=1$。

情况 ②：当 $E(X)>1$ 时 此时 $f^{\prime }(1)>0$。 又 $f^{\prime }(0)=p_1-1<0$（若 $p_1=1$，则 $E(X)=1$ 与前提矛盾，故 $p_1<1$）。 因为 $f^{\prime }(x)$ 连续且递增，由零点存在性定理，存在 $x_0\in (0,1)$ 使得 $f^{\prime }(x_0)=0$。 函数 $f(x)$ 在 $(0,x_0)$ 上单调递减，在 $(x_0,1)$ 上单调递增。 注意到 $f(0)=p_0>0$ 且 $f(1)=0$。 因为 $f(x)$ 在 $x_0$ 处取得极小值，且 $f(1)=0$ 且 $f(x)$ 在 $(x_0,1)$ 递增，必有 $f(x_0)<0$。 结合 $f(0)>0$ 和 $f(x_0)<0$，由零点存在性定理，在 $(0,x_0)$ 内必存在一个零点 $p$。 由于 $p<x_0<1$，故最小正实根 $p<1$。

（3）说明实际含义 该结论的实际含义是：

• 当该种微生物每代繁殖后代的平均数（期望值）不超过 1 时，经过多代繁殖后，该种群必然会灭绝。
• 当该种微生物每代繁殖后代的平均数（期望值）大于 1 时，该种群有一定概率可以生存下去，不会最终灭绝。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 数学建模的深度：本题将概率期望与函数导数完美结合。$f^{\prime }(1)=E(X)-1$ 这一关键发现是解题的“题眼”，体现了导数作为研究函数单调性工具的强大功能。
2. 逻辑严密性：在证明 $p<1$ 时，必须利用函数在端点的值（$f(0)>0,f(1)=0$）以及极值点的正负，才能完整证明零点的存在。
3. 避坑指南：

• 忽略 $p_i$ 之和为 1 这一隐含条件会导致无法证明 $f(1)=0$。
• 在讨论单调性时，要明确 $f^{\prime }(x)$ 的增减性，从而确定 $f(x)$ 的弯曲方向（凹凸性）。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 理论背景：结论 $E(X)⩽1⟺p=1$ 是随机过程分支理论中的核心定理。它告诉我们，一个系统的长期稳定性（是否灭绝）取决于其单步增长的平均速率。方程中的 $p_0+p_{1}x+p_2{x}^2+p_3{x}^3$ 实际上是该分布的概率生成函数。
• 变式思考：如果 $X$ 可以取到更大的整数（如 $i=0,1,\dots ,n$），上述结论是否依然成立？ (提示：依然成立。只要 $f(x)$ 是凸函数且 $f(1)=0$，结论逻辑完全一致。)

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 23.03 离散型随机变量及其数字特征
• 20.03 导数研究单调性与极值最值

类题演练 (Links)

• 2003-上海卷理-10
• 2013-天津卷理-20 解-导数单调性
• 2013-浙江卷理-19 解-分布列