2019-浙江卷-12 填-直线与圆

本题导读

本题考查直线与圆的位置关系，以及相互垂直直线的斜率关系。

📌【题干】

Question

（2019年浙江卷）已知圆 $C$ 的圆心坐标是 $(0,m)$，半径长是 $r$。若直线 $2x-y+3=0$ 与圆相切于点 $A(-2,-1)$，则 $m=$ $\underline{}$， $r=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 利用垂直关系求 $m$：

• 圆心 $C(0,m)$ 与切点 $A(-2,-1)$ 的连线 $CA$ 必定垂直于切线 $l:2x-y+3=0$。
• 切线的斜率 $k_l=2$，根据垂直直线斜率乘积为 $-1$，可知 $k_{CA}=-\frac{1}{2}$。
• 利用 $C,A$ 两点坐标表示出斜率，解方程求出 $m$。

2. 利用距离公式求 $r$：

• 半径 $r$ 即为圆心 $C$ 到切点 $A$ 的距离（或圆心到切线的距离 $d$）。
• 使用两点间距离公式 $\sqrt{(x_1-x_2{)}^2+(y_1-y_2{)}^2}$ 即可算出 $r$。

✅【答案】

点击查看答案

$m=-2$ ； $r=\sqrt{5}$

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 $m=-2$ ； $r=\sqrt{5}$

【解析过程】

第一步：求圆心纵坐标 $m$ 已知切线方程为 $2x-y+3=0$，化为斜截式为 $y=2x+3$，故切线斜率 $k_{切}=2$。 由于圆心 $C(0,m)$ 与切点 $A(-2,-1)$ 的连线垂直于切线，则： $k_{CA}=\frac{m-(-1)}{0-(-2)}=\frac{m+1}{2}$ 根据垂直关系 $k_{CA}\cdot k_{切}=-1$，得： $\frac{m+1}{2}\cdot 2=-1$ $m+1=-1⟹m=-2$ 所以圆心坐标为 $C(0,-2)$。

第二步：求半径 $r$ 半径 $r$ 等于线段 $CA$ 的长度： $r=|CA|=\sqrt{(0-(-2){)}^2+(-2-(-1){)}^2}$ $r=\sqrt{2^2+(-1{)}^2}=\sqrt{4+1}=\sqrt{5}$

故填空结果为：$m=-2$，$r=\sqrt{5}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 切线性质的灵活应用：在解析几何中，看到“切于点 $A$”，首先要想到 $CA\perp l$。这比使用“圆心到直线的距离等于半径”往往能多提供一个关于位置的约束条件。
2. 坐标代入验证：求出 $m$ 后，可以口算一下 $A(-2,-1)$ 是否在切线 $2x-y+3=0$ 上（$-4-(-1)+3=0$），确保题目条件本身无误，也能增强做题信心。

📖【试题探源与推广】

Tip

在 Obsidian 笔记中，可以顺便记录圆的切线常用结论：

• 圆上一点的切线：若点 $(x_0,y_0)$ 在圆 $x^2+y^2=R^2$ 上，则切线方程为 $x_{0}x+y_{0}y=R^2$。
• 圆外一点的切点弦：若点 $(x_0,y_0)$ 在圆外，过该点作圆的两条切线，切点连线（切点弦）方程同样是 $x_{0}x+y_{0}y=R^2$。
• 通用思路：对于不以原点为圆心的圆，优先使用“垂直”和“距离 $d=r$”这两个几何性质，比直接设直线方程判别式 $\Delta =0$ 要简便得多。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 17.05 直线与圆的位置关系
• 16.01 直线的倾斜角与斜率

类题演练 (Links)

• 2008-安徽卷理-08
• 2008-新课标卷文-20 解-直线与圆弧长分割
• 2012-重庆卷文-03 单-直线与圆的弦长