2008-新课标卷文-20 解-直线与圆弧长分割

本题导读

考查直线斜率范围与直线和圆的位置关系。斜率 $k=\frac{m}{m^2+1}\in \left[-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right]$；若弦把圆分成弧长比 $1:2$ 需 $d=1$，但 $d=1$ 无实数解，故不能。

📌【题干】

Question

（2008年新课标卷(文)） 已知 $m\in \mathbf{R}$，直线 $l:mx-(m^2+1)y=4m$ 和圆 $C:x^2+y^2-8x+4y+16=0$.

(1)求直线 $l$ 斜率的取值范围；

(2)直线 $l$ 能否将圆 $C$ 分割成弧长的比值为 $\frac{1}{2}$ 的两段圆弧？为什么？

🔍【思路分析】

破题导航

1. 把直线方程化为斜截式，求斜率 $k$ 关于 $m$ 的表达式。
2. 用均值不等式求 $|k|$ 的范围。
3. 配方求圆心和半径；弧长比 $1:2$ 对应弦心距为定值。
4. 判断 $d=1$ 是否有解。

✅【答案】

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(1)$\left[-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right]$；(2)不能，理由见解析

✍【详细解析】

Abstract

(1)因为 $m^2+1>0$，直线 $l$ 可写为 $y=\frac{m}{m^2+1}x-\frac{4m}{m^2+1},$ 所以斜率为 $k=\frac{m}{m^2+1}$. 由 $m^2+1⩾2|m|$ 得 $|k|=\frac{|m|}{m^2+1}⩽\frac{1}{2},$ 当 $m=1$ 或 $m=-1$ 时等号成立，且 $k(m)$ 连续，能取遍 $\left[-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right]$，故斜率取值范围为 $\left[-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right]$. (2)将圆 $C$ 配方得 $(x-4{)}^2+(y+2{)}^2=4$，故圆心 $O(4,-2)$，半径 $r=2$. 若一条弦把圆分成弧长比为 $1:2$ 的两段圆弧，则较短弧所对的圆心角为 $\frac{2\pi }{3}$，圆心到该弦的距离应为 $d=2\cos \left(\frac{1}{2}\cdot \frac{2\pi }{3}\right)=2\cos \frac{\pi }{3}=1.$ 直线 $l$ 到圆心 $O$ 的距离为 $d=\frac{|4m-(m^2+1)(-2)-4m|}{\sqrt{m^2+(m^2+1{)}^2}}=\frac{2(m^2+1)}{\sqrt{m^4+3m^2+1}}.$ 若 $d=1$，则 $4(m^2+1{)}^2=m^4+3m^2+1$，即 $3m^4+5m^2+3=0$，这对任意实数 $m$ 都不成立. 因此直线 $l$ 不能把圆 $C$ 分割成弧长比为 $1:2$ 的两段圆弧.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：直线的斜率与直线和圆的位置关系

核心方法：$k=\frac{m}{m^2+1}\in \left[-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right]$；$d=1$ 无解，故不能分割

避坑指南：斜率 $k=\frac{m}{m^2+1}$，用 $m^2+1⩾2|m|$ 得 $|k|⩽\frac{1}{2}$；弧长比 $1:2$ 对应弦心距 $d=1$，代入距离公式得 $3m^4+5m^2+3=0$ 无实数解。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：直线与圆的位置关系是解析几何基础题，2009 江苏文第 18 题、2010 四川文第 14 题同型。

结论推广：弦把圆分成弧长比 $1:2$ $\Rightarrow$ 圆心角 $\frac{2\pi }{3}$ $\Rightarrow$ 弦心距 $d=r\cos \frac{\pi }{3}$。

方法推广：先配方求圆心半径；把”弧长比”翻译成”弦心距”是破题关键；最后判断方程是否有实数解。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 17.05 直线与圆的位置关系

类题演练 (Links)

• 2009-江苏卷-18 解-直线与圆双弦
• 2009-陕西卷文-04 单-直线与圆弦长
• 2011-山东卷文-12 单-调和分割新定义
• 2010-四川卷文-14 填-直线与圆弦长