2020-上海卷-06 填-行列式运算

本题导读

本题考查三阶行列式的性质，以及行列式按行展开定理。

📌【题干】

Question

（2020年上海卷）已知行列式 $\left|\begin{array}{ccc}1& a& b\\ 2& c& d\\ 3& 0& 0\end{array}\right|=6$，则 $\left|\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right|=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 观察特征：三阶行列式的第三行有两个元素为 0，这暗示了最简便的方法是按第三行展开。
2. 应用定理：利用行列式按行展开定理，行列式等于某一行元素与其对应的代数余子式乘积之和。
3. 确定符号：注意代数余子式的符号取决于元素的行列下标 $(i,j)$，即 $(-1{)}^{i+j}$。对于第三行第一列元素 3，其符号为 $(-1{)}^{3+1}=1$。
4. 建立方程：通过展开式建立关于目标二阶行列式的方程，求解即可。

✅【答案】

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2

✍【详细解析】

Abstract

将三阶行列式按第三行展开： $\left|\begin{array}{ccc}1& a& b\\ 2& c& d\\ 3& 0& 0\end{array}\right|=3\cdot (-1{)}^{3+1}\cdot \left|\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right|+0\cdot A_{32}+0\cdot A_{33}$ 由于已知该行列式的值为 6，则有： $3\cdot 1\cdot \left|\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right|=6$ 化简得： $3\left|\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right|=6$ 解得： $\left|\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right|=2$。

最终答案为：2

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 展开行的选择：展开行列式时，应优先选择含有零元素最多的行或列，以简化计算。
2. 代数余子式符号：这是此类题目最易出错的点。牢记“棋盘式”符号分布：正、负、正（对于第一行和第三行开头）。
3. 上海卷特色：上海卷对行列式的考查非常稳健，通常不涉及复杂的行列变换，掌握基础的二阶、三阶展开即可稳拿分数。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 结论的推广:
  • 拉普拉斯展开：行列式可以按任何一行或一列展开，其值保持不变。
  • 性质推广：若行列式某一行元素全为常数 $k$ 乘以另一行，则行列式值为 0。
• 方法的推广:
  • 对于更高阶的行列式（如四阶），通常先利用行列性质（如某行减去另一行的倍数）制造出尽可能多的零，再降阶展开。
• 相关知识点:
  • 余子式与代数余子式：余子式 $M_{ij}$ 是划掉第 $i$ 行第 $j$ 列后的子行列式；代数余子式 $A_{ij}=(-1{)}^{i+j}{M}_{ij}$。
  • 矩阵应用：行列式常用于判断矩阵是否可逆（$\det (A)\ne 0$）。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2013-上海卷理-03 填-二阶行列式定义及运算
• 2011-上海卷文-11 填-二阶行列式最值
• 1952-全国-05 填-三阶行列式求值