2020-上海卷-07 填-不等式方程组

本题导读

本题考查平均数与中位数的概念，以及不等式与方程组求解。

📌【题干】

Question

（2020年上海卷）已知有四个数 $1,2,a,b$，这四个数的中位数是 3，平均数是 4，则 $ab=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 利用平均数求和：根据平均数为 4，可求出这四个数的总和。
2. 确定排序逻辑：中位数是 3，且序列中有 1 和 2。由于 $1<2<3$，说明中位数是由 2 和另一个较大的数（$a$ 或 $b$）计算得出的。
3. 建立方程组：设排序后的序列为 $x_1\le x_2\le x_3\le x_4$，根据中位数公式 $\frac{x_2+x_3}{2}=3$ 和总和公式建立方程，解出 $a,b$。

✅【答案】

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36

✍【详细解析】

Abstract

第一步：利用平均数求总和 由题意得：$\frac{1+2+a+b}{4}=4⟹a+b=16-3=13$。

第二步：利用中位数确定 $a,b$ 的范围 将四个数按从小到大排列。已知有两个数为 1 和 2。 若中位数为 3，则中间两个数的平均数为 3。 因为 $1<2<3$，所以 2 必定是排序后的第 2 个数（即 $x_2=2$）。 那么第 3 个数（设为 $a$）满足：$\frac{2+a}{2}=3⟹a=4$。

第三步：求出另一个数并计算乘积 将 $a=4$ 代入 $a+b=13$，得 $b=9$。 此时四个数为 $1,2,4,9$，其排序正确且满足中位数 $\frac{2+4}{2}=3$。 则 $ab=4\times 9=36$。

最终答案为：36

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 中位数陷阱：偶数个数据的中位数是中间两项的算术平均值。
2. 有序性：处理统计量问题时，必须先在大脑中或草稿纸上对数据进行虚拟排序。
3. 上海卷特色：此类题目考查对定义的灵活运用，而非死记硬背公式。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 结论的推广:
  • 对于 $n$ 个数据，若平均数为 $\bar{x}$，则 $\sum x_i=n\bar{x}$。
  • 若增加一个极大值，平均数会显著上升，但中位数通常波动较小，体现了中位数的鲁棒性。
• 方法的推广:
  • 构造模型法：在处理含有未知数的统计量问题时，先根据中位数所在的区间锁定未知数的大小排列顺序，再建立方程。
• 相关知识点:
  • 极差与方差：求出 $a,b$ 后，可进一步考察这组数据的离散程度。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 14.02 百分位数与四分位数
• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2010-福建卷文-09 单-茎叶图中位数平均数
• 2022-乙卷文-04 单-茎叶图数字特征
• 2008-上海卷文-10 填-中位数与方差最小