2020-上海卷-09 填-组合数公式

本题导读

本题考查排列组合，以及分步乘法计数原理。

📌【题干】

Question

（2020年上海卷）从 6 个人挑选 4 个人去值班，每人值班一天，第一天安排 1 个人，第二天安排 1 个人，第三天安排 2 个人，则共有 $\underline{}$.种安排情况。

🔍【思路分析】

破题导航

1. 分析任务：这是一个典型的分步计数问题。我们需要从 6 人中选出人员并按天数填坑。
2. 第一步（第一天）：从 6 人中随机挑选 1 人，情况数为 $C_6^1$。
3. 第二步（第二天）：从剩下的 5 人中挑选 1 人，情况数为 $C_5^1$。
4. 第三步（第三天）：从剩下的 4 人中挑选 2 人，情况数为 $C_4^2$。
5. 计算总数：根据分步乘法计数原理，将各步情况数相乘。

✅【答案】

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180

✍【详细解析】

Abstract

根据分步计数原理：

1. 第一天安排：从 6 人中选 1 人，有 $C_6^1=6$ 种；

2. 第二天安排：从剩余 5 人中选 1 人，有 $C_5^1=5$ 种；

3. 第三天安排：从剩余 4 人中选 2 人，有 $C_4^2=\frac{4\times 3}{2\times 1}=6$ 种。

则总安排情况数为： $N=C_6^1\times C_5^1\times C_4^2=6\times 5\times 6=180$。

最终答案为：180

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 先选后排还是直接选：本题也可以先从 6 人中选出 4 人（$C_6^4$），再对这 4 人进行分配（将 4 人分为 1, 1, 2 三堆，且人数为 1 的两堆是有天数顺序区别的）。计算结果一致：$C_6^4\times \frac{C_4^2\times C_2^1\times C_1^1}{2!}\times A_2^2=15\times 6\times 2=180$。显然分步直接选更简洁。
2. 易错点：注意第三天是 2 个人，使用组合数 $C_4^2$ 时已经默认这两人是不分先后顺序进入第三天的。
3. 上海卷特色：上海卷的排列组合题通常背景生活化，计算量适中，重在逻辑链条的完整性。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 结论的推广:
  • 分配问题公式：将 $n$ 个不同元素分配到 $k$ 个有区别的容器中，容器内元素个数分别为 $n_1,n_2,\dots ,n_k$，则情况数为 $\frac{n!}{n_1!n_2!\dots n_k!}$。本题即 $\frac{6!}{1!1!2!(6-4)!}=\frac{720}{1\times 1\times 2\times 2}=180$。
• 方法的推广:
  • 隔板法：若 6 人完全相同（如 6 个名额分配给 3 天），则适用隔板法。
  • 插空法：若要求某两人不能安排在同一天，则适用插空法。
• 相关知识点:
  • 二项式系数：$C_n^r$ 的计算与二项式定理中的系数紧密相关。
  • 概率模型：本题是计算古典概型中样本空间总数的基础。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 22.01 计数原理、排列与组合

类题演练 (Links)

• 2012年浙江卷理-14
• 2014-大纲卷理-05 单-组合
• 2015-四川卷理-6