2023-新高考II卷-03 单-计数原理

本题导读

本题考查分层随机抽样，以及组合数公式。

📌【题干】

Question

（2023年新高考II卷）某学校为了了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取 60 名学生，已知该校初中部和高中部分别有 400 名和 200 名学生，则不同的抽样结果共有（ ）

A. ${\text{C}}_{400}^{45}\cdot {\text{C}}_{200}^{15}$ 种　　　　　　　　　　　B. ${\text{C}}_{400}^{20}\cdot {\text{C}}_{200}^{40}$ 种

C. ${\text{C}}_{400}^{30}\cdot {\text{C}}_{200}^{30}$ 种　　　　　　　　　　　D. ${\text{C}}_{400}^{40}\cdot {\text{C}}_{200}^{20}$ 种

🔍【思路分析】

破题导航

1. 理解分层抽样比例：分层抽样要求各层抽取的样本量与该层总体人数成正比。
2. 计算各层样本数：

• 算出全校总人数。
• 算出抽样比（总样本量 / 总人数）。
• 按比例分别计算初中部和高中部应抽取的人数。

3. 组合数表达：从 $N$ 个元素中随机抽取 $n$ 个元素的结果数为 ${\text{C}}_N^n$。
4. 乘法原理汇总：因为抽样过程分两步（初中、高中各抽一次），所以总结果数为两层组合数的乘积。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

第一步：确定抽样比例 全校总人数为：$400+200=600$（人）。 拟抽取的总样本量为 $60$ 人。 抽样比为：$\frac{60}{600}=\frac{1}{10}$。

第二步：分配各层样本量

• 初中部应抽取的人数为：$400\times \frac{1}{10}=40$（人）。
• 高中部应抽取的人数为：$200\times \frac{1}{10}=20$（人）。

第三步：计算各层抽样的组合数

• 从 400 名初中生中随机抽取 40 人的结果数为：${\text{C}}_{400}^{40}$。
• 从 200 名高中生中随机抽取 20 人的结果数为：${\text{C}}_{200}^{20}$。

第四步：得出总抽样方案数 根据分步乘法计数原理，总的抽样结果共有： ${\text{C}}_{400}^{40}\cdot {\text{C}}_{200}^{20}$（种）。

故选：D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：分层抽样的等比例分配原则、组合数的意义、分步乘法计数原理。
2. 核心方法：比例分配法、分步计数法。
3. 避坑指南：必须严格保证各层抽样比例与总体抽样比例相等（即 $\frac{n_1}{N_1}=\frac{n_2}{N_2}=\frac{n}{N}$）。抽样调查不考虑抽取顺序，应使用组合数 ${\text{C}}_n^m$ 而非排列数进行计算。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题考查统计抽样方法与组合计数的结合，属于常规基础题型。
2. 结论推广：在容量为 $N$ 的总体中，按特征划分为容量互不相交的 $k$ 个子层（$N_1,N_2,\dots ,N_k$）。若采用分层抽样抽取容量为 $n$ 的样本，则第 $i$ 层抽取的样本量为 $n_i=N_i\times \frac{n}{N}$，总的抽样结果数为 ${\prod }_{i=1}^k{\text{C}}_{N_i}^{n_i}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 14.01随机抽样、平均数与方差
• 22.01 计数原理、排列与组合

类题演练 (Links)

• 2020-上海卷-09 填-组合数公式
• 1989-全国卷理-12 单-排列计数
• 2005-江苏卷-12 单-四棱锥的结构特征