2020-上海卷-12 填-平面距离约束

本题导读

本题考查向量的模与运算，以及几何图形的覆盖与排列。

📌【题干】

Question

（2020年上海卷）已知 $a_{1}, a_{2}, b_{1}, b_{2}, \dots, b_{k}$ ( $k \in N^{*}$ ) 是平面内两两互不相等的向量，满足 $∣ a_{1} - a_{2} ∣ = 1$ ，且 $∣ a_{i} - b_{j} ∣ \in {1, 2}$ （其中 $i = 1, 2, j = 1, 2, \dots, k$ ），则 $k$ 的最大值是.

🔍【思路分析】

破题导航

几何转化：将向量看作平面上的点。设点 $A_{1}, A_{2}, B_{1}, \dots, B_{k}$ 。

已知条件解析：

$A_{1} A_{2} = 1$ 。

对于每一个 $B_{j}$ ，它到 $A_{1}$ 的距离是 1 或 2，同时它到 $A_{2}$ 的距离也是 1 或 2。

寻找 $B_{j}$ 的位置： $B_{j}$ 必须位于以 $A_{1}$ 为圆心、半径为 ${1, 2}$ 的两个圆上，同时位于以 $A_{2}$ 为圆心、半径为 ${1, 2}$ 的两个圆上。即 $B_{j} \in (C_{A_{1}, 1} \cup C_{A_{1}, 2}) \cap (C_{A_{2}, 1} \cup C_{A_{2}, 2})$ 。

计算交点个数：

圆 $C_{A_{1}, 1}$ 与 $C_{A_{2}, 1}$ 的交点： $A_{1} A_{2} = 1, r_{1} = 1, r_{2} = 1$ ，交点 2 个。

圆 $C_{A_{1}, 1}$ 与 $C_{A_{2}, 2}$ 的交点： $A_{1} A_{2} = 1, r_{1} = 1, r_{2} = 2$ ，交点 1 个（外切点）。

圆 $C_{A_{1}, 2}$ 与 $C_{A_{2}, 1}$ 的交点： $A_{1} A_{2} = 1, r_{1} = 2, r_{2} = 1$ ，交点 1 个（外切点）。

圆 $C_{A_{1}, 2}$ 与 $C_{A_{2}, 2}$ 的交点： $A_{1} A_{2} = 1, r_{1} = 2, r_{2} = 2$ ，交点 2 个。

排除重复与限制：总交点数为 $2 + 1 + 1 + 2 = 6$ 。但需注意题目要求“两两互不相等”，且 $B_{j}$ 不能与 $A_{1}, A_{2}$ 重合。

✅【答案】

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6

✍【详细解析】

Abstract

第一步：确定 $B_{j}$ 可能存在的交点集合 设 $A_{1}, A_{2}$ 坐标分别为 $(- \frac{1}{2}, 0)$ 和 $(\frac{1}{2}, 0)$ 。 $B_{j} (x, y)$ 需满足： ${(x + \frac{1}{2})^{2} + y^{2} = d_{1}^{2} (x - \frac{1}{2})^{2} + y^{2} = d_{2}^{2}$ ，其中 $d_{1}, d_{2} \in {1, 2}$ 。

![](Pasted image 20260329213932.png)

第二步：分情况讨论交点

$d_{1} = 1, d_{2} = 1$ : 交点为 $(0, \pm \frac{3}{2})$ ，共 2个。

$d_{1} = 1, d_{2} = 2$ : 满足 $∣ d_{1} - d_{2} ∣ = 1 = A_{1} A_{2}$ ，两圆内切。交点在 $A_{1} A_{2}$ 延长线上，为 $(- \frac{3}{2}, 0)$ ，共 1个。

$d_{1} = 2, d_{2} = 1$ : 同理，两圆内切。交点为 $(\frac{3}{2}, 0)$ ，共 1个。

$d_{1} = 2, d_{2} = 2$ : 满足 $A_{1} A_{2} = 1 < 2 + 2$ ，两圆相交。交点为 $(0, \pm \frac{15}{2})$ ，共 2个。

第三步：核对总数 目前的候选点总数为 $2 + 1 + 1 + 2 = 6$ 。检查这些点是否与 $A_{1}, A_{2}$ 重合：

$A_{1}$ 的坐标是 $(- \frac{1}{2}, 0)$ 。它到自身的距离是 0（不属于 ${1, 2}$ ），故 $A_{1}$ 不在交点集里。

$A_{2}$ 同理。检查交点之间是否重合：上述四类情况的坐标均不相同。故 $k$ 的最大值为 6。

最终答案为：6

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

圆的方程与交点：此类题目的核心是圆的相交位置关系（相离、相切、相交）。

压轴特色：上海卷第 12 题常涉及“点集”和“距离”，需要通过代数计算严谨排除干扰点。

易错提示：如果 $A_{1} A_{2}$ 的距离变化，交点的个数会剧烈变动（例如变为外切或包含），本题 $1$ 这个数值非常关键。

📖【试题探源与推广】

Tip

结论的推广:

本题是平面上“两点距离约束”问题。如果在三维空间中，交点将变为交线（圆环）， $k$ 将变为无穷。

方法的推广:

坐标系法是解决几何约束最强有力的工具。将抽象的向量模转化为具体的圆方程，能化直观想象为精确计算。

相关知识点:

阿波罗尼斯圆：虽然本题是定长圆，但距离比值固定的轨迹研究思路与之相似。

图论基础：这类点与边的距离关系也是离散数学中单位距离图研究的雏形。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

09.02 平面向量的线性运算

22.01 计数原理、排列与组合

类题演练 (Links)

2008-上海卷文-05 填-向量和的模

2008-天津卷文-14 填-向量减法与模

2008-湖南卷文-11 填-向量模坐标运算

∑ ( Math )

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