2020-全国卷I文-05 单-函数图象

本题导读

本题考查散点图的识别，以及回归分析。

📌【题干】

Question

（2020年全国卷I(文)）5. 某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率 $y$ 和温度 $x$（单位：°C）的关系，在 20 个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据 $(x_i,y_i)(i=1,2,\dots ,20)$ 得到如下散点图：

由此散点图，在 10°C 至 40°C 之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率 $y$ 和温度 $x$ 的回归方程类型的是（ ）

A. $y=a+bx$　　　　　　　　　　　　　　　　B. $y=a+b{x}^2$

C. $y=a+b{e}^x$　　　　　　　　　　　　　　　　D. $y=a+b\ln x$

🔍【思路分析】

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1. 观察散点趋势：

• 散点整体呈现上升趋势，说明 $b>0$。
• 关键特征：随着 $x$ 的增加，发芽率 $y$ 的增长速度逐渐减慢（曲线越来越平缓，即图像呈“上凸”状）。

2. 对比选项模型：

• A 选项 (线性模型)： 图像应是一条直线，增长速度恒定。与图不符。
• B 选项 (二次模型)： $y=a+b{x}^2$ 在第一象限（$b>0$ 时）是下凸的，增长越来越快。与图不符。
• C 选项 (指数模型)： $y=a+b{e}^x$ 是爆炸式增长，曲线越来越陡峭。与图不符。
• D 选项 (对数模型)： $y=a+b\ln x$ 的特征是先快后慢，图像呈上凸状。与散点趋势吻合。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 D

【解析过程】 由散点图观察可知：

1. 散点分布在一条曲线上，且该曲线单调递增；
2. 随着温度 $x$ 的升高，发芽率 $y$ 的增长幅度越来越小，反映在图像上即切线斜率逐渐减小。
3. 对比四个选项：
   • $y=a+bx$ 的导数为 $b$，斜率不变；
   • $y=a+b{x}^2$ 的导数为 $2bx$（$x>0$ 时单调递增），斜率越来越大；
   • $y=a+b{e}^x$ 的导数为 $b{e}^x$，斜率呈指数级增长；
   • $y=a+b\ln x$ 的导数为 $\frac{b}{x}$，随着 $x$ 增大，斜率逐渐减小，符合散点图“先陡后平”的特征。

故选：D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 识图要领： - 加速增长 $⟹$ 指数函数 $e^x$ 或幂函数 $x^n(n>1)$。
  • 匀速增长 $⟹$ 线性函数 $kx+b$。
  • 减速增长 $⟹$ 对数函数 $\ln x$ 或幂函数 $x^n(0<n<1)$。
• 模型选择原则： 好的回归方程应该使样本点尽可能均匀地分布在回归曲线的两侧。

📖【试题探源与推广】

Tip

在实际统计中，我们不仅通过肉眼观察，还会计算相关指数 $R^2$：

• $R^2$ 越接近 1，表示回归方程的拟合效果越好。
• 对于本题中的种子发芽实验，温度过高（超过 40°C）后发芽率通常会下降，此时可能需要考虑二次函数模型（开口向下）来拟合全温度段的数据。但在 10°C-40°C 这个特定区间，对数函数是最优选择。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 24.01回归分析与线性拟合

类题演练 (Links)

• 2009-新课标卷文-03 单-散点图相关性
• 2014-湖北卷理-04 单-回归分析