2014-湖北卷理-04 单-回归分析

本题导读

本题考查根据样本数据判断线性回归方程系数 $a,b$ 的正负号。核心在于通过数据变化趋势识别变量间的相关性，并理解回归直线的截距与斜率。

📌【题干】

Question

（2014年湖北卷(理)） 根据如下样本数据：

$x$	3	4	5	6	7	8
$y$	4.0	2.5	-0.5	0.5	-2.0	-3.0

得到的回归方程为 $\hat{y}=bx+a$，则()

A. $a>0,b>0$　　　　　　　　　　　　　　　B. $a>0,b<0$

C. $a<0,b>0$　　　　　　　　　　　　　　　D. $a<0,b<0$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 判断斜率 $b$ 的符号：观察数据规律。随着 $x$ 的增大，$y$ 的总体趋势是减小的（从 4.0 降至 -3.0），说明两个变量呈负相关关系，因此回归直线的斜率 $b<0$。
2. 判断截距 $a$ 的符号：考虑样本中心点 $(\bar{x},\bar{y})$。计算平均值后代入方程 $\bar{y}=b\bar{x}+a$，根据 $b$ 的负值情况粗略估算 $a$；或者通过散点图的趋势反向延长，观察直线与 $y$ 轴的交点位置。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

第一步：定性分析 $b$ 的符号 由表可知，当 $x$ 从 3 递增到 8 时，$y$ 值除了在 $x=6$ 处有微小波动外，整体呈现明显的下降趋势。 由于 $\hat{y}$ 随 $x$ 增大而减小，故该回归直线下降。 根据回归系数的意义，斜率 $b<0$。

第二步：定量/趋势分析 $a$ 的符号 计算样本中心点：

• $\bar{x}=\frac{3+4+5+6+7+8}{6}=5.5$
• $\bar{y}=\frac{4.0+2.5-0.5+0.5-2.0-3.0}{6}=\frac{1.5}{6}=0.25$ 回归直线必过样本中心点 $(\bar{x},\bar{y})$，代入方程得： $0.25=5.5b+a⟹a=0.25-5.5b$ 因为 $b<0$，所以 $-5.5b>0$。 从而得到 $a=0.25+(\text{正数})>0$。

综上所述，$a>0,b<0$。

故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：线性回归方程的斜率与截距符号判断

2. 核心方法：由数据下降趋势判 $b<0$，用样本中心 $(\bar{x},\bar{y})$ 代入判 $a>0$

3. 避坑指南：注意审题与运算细节。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 线性回归直线过样本中心

2. 结论推广: 回归直线必过样本中心点 $(\bar{x},\bar{y})$。

3. 方法推广: 可迁移到根据数据判断回归方程系数符号类题

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 14.01随机抽样、平均数与方差
• 24.01回归分析与线性拟合

类题演练 (Links)

• 2015-新课标I卷文-19 解-回归分析
• 2014-湖北卷文-06 单-回归分析