2020-全国卷I文-06 单-弦长公式

本题导读

本题考查圆的标准方程与几何性质，以及直线与圆的位置关系。

📌【题干】

Question

（2020年全国卷I(文)）已知圆 $x^2+y^2-6x=0$, 过点 $(1,2)$ 的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为 ( )

A. $1$　　　　　　　B. $2$　　　　　　　C. $3$　　　　　　　D. $4$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 将圆的方程化为标准方程，求出圆心坐标和半径。
2. 检验定点 $(1,2)$ 与圆的位置关系，判断其在圆内、圆上还是圆外。
3. 根据弦长的几何性质：当过定点的直线与连结定点和圆心的线段垂直时，截得的弦长最短。
4. 利用勾股定理计算最短弦长。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

将圆的方程 $x^2+y^2-6x=0$ 配方得： $(x-3{)}^2+y^2=9$. 可知圆心 $C$ 的坐标为 $(3,0)$，半径 $R=3$. 设点 $P(1,2)$，代入圆的方程左边：$(1-3{)}^2+2^2=4+4=8<9$， 说明点 $P(1,2)$ 在圆的内部。 因此，过点 $P$ 的所有直线中，当且仅当直线与过点 $P$ 且垂直于 $CP$ 的直线垂直时，截得的弦长最短。 计算圆心 $C(3,0)$ 到点 $P(1,2)$ 的距离 $d$： $d=\sqrt{(1-3{)}^2+(2-0{)}^2}=\sqrt{(-2{)}^2+2^2}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$. 根据垂径定理和勾股定理，弦长的一半 $l$ 满足： ${\left(\frac{\text{弦长}}{2}\right)}^2+d^2=R^2$ ${\left(\frac{\text{弦长}}{2}\right)}^2+(\sqrt{8}{)}^2=3^2$ ${\left(\frac{\text{弦长}}{2}\right)}^2+8=9⟹{\left(\frac{\text{弦长}}{2}\right)}^2=1⟹\frac{\text{弦长}}{2}=1$. 故最短弦长为 $2$. 故选：(B)。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：圆的几何性质、点与圆位置关系、垂径定理与勾股定理。
2. 核心方法：几何法求弦长最值（最短弦即为垂直于圆心与定点连线的弦）。
3. 避坑指南：先判断定点在圆内还是圆外，若在圆内则过该点的弦不可能达到直径，最短弦垂直于弦心距。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：高考解析几何中直线与圆位置关系的经典基础题。
2. 结论推广：过圆内定点的直线被圆截得的弦长最短时，该定点与弦的中点连线垂直于该弦。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 17.01 圆的方程与圆系理论
• 17.05 直线与圆的位置关系

类题演练 (Links)

• 2014-重庆卷理-13 填-直线与圆
• 2014-江苏卷-09 填-弦长问题
• 2000-广东卷理-10 单-直线方程与斜率