2020-全国卷I文-11 单-三角形面积

本题导读

本题考查双曲线的定义与几何性质，以及三角形面积公式。

📌【题干】

Question

（2020年全国卷I(文)）设 $F_1,F_2$ 是双曲线 $C:x^2-\frac{y^2}{3}=1$ 两个焦点, $O$ 为坐标原点, 点 $P$ 在 $C$ 上且 $|OP|=2$, 则 $△P{F}_1{F}_2$ 的面积为 ( )

A. $\frac{7}{2}$　　　　　　　B. 3　　　　　　　C. $\frac{5}{2}$　　　　　　　D. 2

🔍【思路分析】

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1. 根据双曲线方程求出半焦距 $c$，确定两焦点坐标及焦距 $|F_1{F}_2|$。
2. 结合点 $P$ 在双曲线上且 $|OP|=2$，利用圆的方程与双曲线方程联立求出点 $P$ 的坐标（特别是纵坐标）。
3. 以 $F_1{F}_2$ 为底，点 $P$ 的纵坐标绝对值为高，计算 $△P{F}_1{F}_2$ 的面积。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

由双曲线 $C:x^2-\frac{y^2}{3}=1$ 可知 $a^2=1,b^2=3$， 则 $c^2=a^2+b^2=4⟹c=2$. 焦点坐标为 $F_1(-2,0),F_2(2,0)$，焦距 $|F_1{F}_2|=4$. 因为 $O$ 为坐标原点且 $|OP|=2$，所以点 $P(x,y)$ 满足 $x^2+y^2=4$. 联立双曲线方程与圆的方程： $\{\begin{array}{l}{x}^2+y^2=4\\ x^2-\frac{y^2}{3}=1\end{array}$ 两式相减得： $y^2+\frac{y^2}{3}=3⟹\frac{4}{3}{y}^2=3⟹y^2=\frac{9}{4}⟹|y|=\frac{3}{2}$. 以 $F_1{F}_2$ 为底，三角形的高为点 $P$ 的纵坐标绝对值 $|y|$： $S_{△P{F}_1{F}_2}=\frac{1}{2}\times |F_1{F}_2|\times |y|=\frac{1}{2}\times 4\times \frac{3}{2}=3$. 故选：(B)。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：双线性质、焦点三角形面积。
2. 核心方法：利用交点坐标直接求解底和高。
3. 避坑指南：注意双曲线中 $c^2=a^2+b^2$ 的关系，避免与椭圆公式混淆。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：圆锥曲线焦点三角形面积计算经典题。
2. 结论推广：若动点到原点距离等于焦距的一半，常与直角三角形或特殊几何图形性质相关联。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结
• 11.04 三角形面积公式

类题演练 (Links)

• 1994-全国卷理-08
• 2009-上海卷理-09
• 2013-湖南卷理-14 填-双曲线定义