2020-全国卷I文-16 填-数列求和

本题导读

本题考查递推数列的周期性与规律，以及数列求和。

📌【题干】

Question

（2020年全国卷I(文)）数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_{n+2}+(-1{)}^n{a}_n=3n-1$, 前 $16$ 项和为 $540$, 则 $a_1=$ _____.

🔍【思路分析】

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1. 利用递推关系式 $a_{n+2}+(-1{)}^n{a}_n=3n-1$，分别代入 $n=1,2,3,4,\dots$ 寻找数列各项之间的周期性或递推规律。
2. 设 $a_1=x$，利用周期性将前 16 项用含 $x$ 的代数式表示出来。
3. 结合前 16 项和为 540 建立方程求解 $a_1$.

✅【答案】

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$7$

✍【详细解析】

Abstract

已知递推关系式：$a_{n+2}+(-1{)}^n{a}_n=3n-1$. 分别代入 $n$ 的值：

• 当 $n=1$ 时：$a_3+(-1{)}^1{a}_1=3(1)-1⟹a_3-a_1=2⟹a_3=a_1+2$；
• 当 $n=2$ 时：$a_4+(-1{)}^2{a}_2=3(2)-1⟹a_4+a_2=5⟹a_4=5-a_2$；
• 当 $n=3$ 时：$a_5+(-1{)}^3{a}_3=3(3)-1⟹a_5-a_3=8⟹a_5=a_3+8=a_1+10$；
• 当 $n=4$ 时：$a_6+(-1{)}^4{a}_4=3(4)-1⟹a_6+a_4=11⟹a_6=11-a_4=11-(5-a_2)=a_2+6$. 由此可发现奇数项与偶数项分别呈现固定的递推规律： 奇数项：$a_1$, $a_3=a_1+2$, $a_5=a_1+10$, $a_7=a_5+14=a_1+24$, $\dots$ 规律：$a_{2k-1}-a_{2k-3}=6k-7$（或通过各项累加表示）。 具体前 16 项包含 8 个奇数项和 8 个偶数项： 设 $a_1=x,a_2=y$. 前 8 个奇数项分别为： $x$, $x+2$, $x+10$, $x+24$, $x+44$, $x+70$, $x+102$, $x+140$. 奇数项之和为：$8x+(2+10+24+44+70+102+140)=8x+392$. 前 8 个偶数项分别为： $y$, $5-y$, $y+6$, $11-y$, $y+12$, $17-y$, $y+18$, $23-y$. 偶数项之和为：$y+(5-y)+(y+6)+(11-y)+(y+12)+(17-y)+(y+18)+(23-y)=92$. （注：偶数项中 $y$ 的系数正负各半、相互抵消；常数项之和 $5+6+11+12+17+18+23=92$。） 总和 $S_{16}=(8x+392)+92=8x+484$. 已知 $S_{16}=540$，则： $8x+484=540⟹8x=56⟹x=7$. 因此，$a_1=7$. 故答案为：$7$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：递推数列通项、分类求和。
2. 核心方法：通过前几项赋值归纳出奇偶项的递推特征。
3. 避坑指南：交错符号递推式中，奇数项与偶数项通常交替或各自成规律，需分别归纳求和。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：高考数列压轴填空题的高频冷门考法。
2. 结论推广：含 $(-1{)}^n$ 的递推数列通常具有周期性或奇偶项分离求和的特征。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质
• 19.04 数列求和核心方法与裂项模型

类题演练 (Links)

• 2008-浙江卷文-18 解-数列分组求和
• 2008-重庆卷理-22
• 2010-江西卷理-04