2020-全国卷I文-19 解-立几综合

本题导读

本题考查面面垂直的判定与性质。核心在于几何法证明线面与面面垂直、空间几何体体积公式计算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2020年全国卷I(文)）如图, $D$ 为圆锥的顶点, $O$ 是圆锥底面的圆心, $△ABC$ 是底面的内接正三角形, $P$ 为 $DO$ 上一点, $\angle APC=90^{\circ }$.

(1) 证明: 平面 $PAB\perp$ 平面 $PAC$;

(2) 设 $DO=\sqrt{2}$, 圆锥的侧面积为 $\sqrt{3}\pi$, 求三棱锥 $P-ABC$ 的体积.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 利用圆锥轴截面的对称性证明 $BO\perp$ 平面 $PAC$，再根据面面垂直的判定定理证明平面 $PAB\perp$ 平面 $PAC$。
2. 结合圆锥侧面积公式求出底面半径和母线长，进而求出 $PO$ 的长度，最后利用三棱锥体积公式计算。

✅【答案】

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$V_{P-ABC}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{3}}{4}$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 证明：因为 $DO\perp$ 底面 $ABC$，且 $BO\subset$ 底面 $ABC$，所以 $DO\perp BO$. 因为 $△ABC$ 是底面圆的内接正三角形，$O$ 为中心，所以 $BO\perp AC$. 又因为 $DO\cap AC=O$，所以 $BO\perp$ 平面 $PAC$. 又因为 $BO\subset$ 平面 $PAB$， 所以平面 $PAB\perp$ 平面 $PAC$.

(2) 设底面圆的半径为 $r$，母线长为 $l$. 由圆锥的侧面积公式得 $\pi rl=\sqrt{3}\pi$. 在 Rt$△APC$ 中，$\angle APC=90^{\circ }$，$O$ 为 $AC$ 中点，由对称性及 $\angle APC=90^{\circ }$ 可知 $PO=AO=r$. 在 Rt$△DBO$ 中，$DO=\sqrt{2}$，$OB=r$，母线 $l=\sqrt{D{O}^2+r^2}=\sqrt{2+r^2}$. 代入侧面积公式：$\pi r\sqrt{2+r^2}=\sqrt{3}\pi ⟹r^2(2+r^2)=3$. 设 $r^2=t>0$，则 $t(2+t)=3⟹t^2+2t-3=0⟹(t-1)(t+3)=0$. 解得 $t=1$（负值舍去），即 $r^2=1⟹r=1$. 从而 $DO=\sqrt{2}$，$PO=r=1$，则 $DP=DO-PO=\sqrt{2}-1$. 底面正三角形 $ABC$ 的边长 $AB=\sqrt{3}r=\sqrt{3}$，其面积为 $S_{△ABC}=\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^2=\frac{\sqrt{3}}{4}(\sqrt{3}{)}^2=\frac{3\sqrt{3}}{4}$. 三棱锥 $P-ABC$ 的体积为： $V_{P-ABC}=\frac{1}{3}{S}_{△ABC}\cdot DP=\frac{1}{3}\times \frac{3\sqrt{3}}{4}\times (\sqrt{2}-1)=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{3}}{4}$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：面面垂直判定、圆锥几何性质、锥体体积。
2. 核心方法：利用对称性及线面垂直证明面面垂直。
3. 避坑指南：计算圆锥参数时注意代数方程的根的取舍（半径必须为正）。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：高考立体几何解答题常规压轴题型。
2. 结论推广：圆锥内接正三角形与轴线上的点的几何性质常结合勾股定理综合考查。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.03 空间点、线、面位置关系
• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 2010-山东卷文-20 解-面面垂直与体积比
• 1997-全国卷理-23 解-正方体中的垂直、角与体积
• 1999-全国卷理-18 填-线面垂直的命题构造