2010-山东卷文-20 解-面面垂直与体积比

本题导读

考查面面垂直与体积。建系后平面 $EFG$ 方程为 $x=h$、平面 $PDC$ 方程为 $y=2h$，法向量 $(1,0,0)$ 与 $(0,1,0)$ 垂直；$V_{P-MAB}:V_{P-ABCD}=\frac{2}{3}{h}^3:\frac{8}{3}{h}^3=1:4$。

📌【题干】

Question

（2010年山东卷(文)） 在如图所示的几何体中，四边形 $ABCD$ 是正方形，$MA\perp$ 平面 $ABCD$，$PD\parallel MA$，$E,G,F$ 分别为 $MB,PB,PC$ 的中点，且 $AD=PD=2MA$.

(1) 求证：平面 $EFG\perp$ 平面 $PDC$；

(2) 求三棱锥 $P-MAB$ 与四棱锥 $P-ABCD$ 的体积之比.

🔍【思路分析】

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1. 设 $MA=h$，则 $AD=PD=2h$，正方形边长 $AB=2h$。
2. 以 $A$ 为原点，$AB,AD,AM$ 为 $x,y,z$ 轴建系：$A(0,0,0)$、$B(2h,0,0)$、$C(2h,2h,0)$、$D(0,2h,0)$、$M(0,0,h)$、$P(0,2h,2h)$。
3. $E$、$G$、$F$ 为 $MB$、$PB$、$PC$ 中点：$E\left(h,0,\frac{h}{2}\right)$、$G(h,h,h)$、$F(h,2h,h)$，三点横坐标均为 $h$，平面 $EFG$ 即 $x=h$，法向量 $(1,0,0)$。
4. $P,D,C$ 纵坐标均为 $2h$，平面 $PDC$ 即 $y=2h$，法向量 $(0,1,0)$。两法向量内积为 $0$，故平面 $EFG\perp$ 平面 $PDC$。
5. (2) $S_{△MAB}=\frac{1}{2}\cdot 2h\cdot h=h^2$，$P$ 到面 $MAB$（$y=0$）距离 $2h$，$V_{P-MAB}=\frac{1}{3}{h}^2\cdot 2h=\frac{2}{3}{h}^3$。
6. $S_{ABCD}=(2h{)}^2=4h^2$，$P$ 到面 $ABCD$（$z=0$）距离 $2h$，$V_{P-ABCD}=\frac{1}{3}\cdot 4h^2\cdot 2h=\frac{8}{3}{h}^3$。
7. 比值 $=1:4$。

✅【答案】

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(1) 证明见解析

(2) 体积之比为 $1:4$

✍【详细解析】

Abstract

设 $MA=h$，由 $AD=PD=2MA$ 得 $AD=PD=2h$，正方形 $ABCD$ 的边长为 $2h$. 以 $A$ 为原点，$AB$、$AD$、$AM$ 所在直线分别为 $x$、$y$、$z$ 轴建立空间直角坐标系，则 $A(0,0,0),B(2h,0,0),C(2h,2h,0),D(0,2h,0),M(0,0,h),P(0,2h,2h).$ 因 $E,G,F$ 分别为 $MB,PB,PC$ 的中点，故 $E\left(h,0,\frac{h}{2}\right),G(h,h,h),F(h,2h,h).$ 三点 $E,G,F$ 的横坐标均为 $h$，且 $\overrightarrow{EG}=\left(0,h,\frac{h}{2}\right)$、$\overrightarrow{EF}=\left(0,2h,\frac{h}{2}\right)$ 不共线，故平面 $EFG$ 的方程为 $x=h$，其一个法向量为 ${\mathbf{n}}_1=(1,0,0)$. 三点 $P,D,C$ 的纵坐标均为 $2h$，且 $\overrightarrow{PD}=(0,0,-2h)$、$\overrightarrow{PC}=(2h,0,-2h)$ 不共线，故平面 $PDC$ 的方程为 $y=2h$，其一个法向量为 ${\mathbf{n}}_2=(0,1,0)$. 因为 ${\mathbf{n}}_1\cdot {\mathbf{n}}_2=1\times 0+0\times 1+0\times 0=0$，所以两平面法向量垂直， 故平面 $EFG\perp$ 平面 $PDC$. (2) $△MAB$ 是直角三角形，$MA=h$，$AB=2h$，故 $S_{△MAB}=\frac{1}{2}\cdot h\cdot 2h=h^2.$ 点 $P$ 到平面 $MAB$（即 $y=0$）的距离为 $2h$，所以 $V_{P-MAB}=\frac{1}{3}{S}_{△MAB}\cdot 2h=\frac{1}{3}{h}^2\cdot 2h=\frac{2}{3}{h}^3.$ 正方形 $ABCD$ 的面积 $S_{ABCD}=(2h{)}^2=4h^2$，点 $P$ 到平面 $ABCD$（即 $z=0$）的距离为 $2h$，所以 $V_{P-ABCD}=\frac{1}{3}{S}_{ABCD}\cdot 2h=\frac{1}{3}\cdot 4h^2\cdot 2h=\frac{8}{3}{h}^3.$ 因此 $V_{P-MAB}:V_{P-ABCD}=\frac{2}{3}{h}^3:\frac{8}{3}{h}^3=1:4.$ 故三棱锥 $P-MAB$ 与四棱锥 $P-ABCD$ 的体积之比为 $1:4$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：面面垂直的判定与体积比

核心方法：设 $MA=h$ 建 $A$-$xyz$ 系，求两平面法向量证垂直，再用体积公式求比

避坑指南：中点坐标是建系后的关键：$E,G,F$ 横坐标均为 $h$ 使平面 $EFG$ 为 $x=h$；体积比中 $h^3$ 约掉，结果 $1:4$ 与 $h$ 无关。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：正方形+垂线+中点构成的几何体，是面面垂直与体积比的高频载体。

结论推广：平面 $EFG:x=h$ 与平面 $PDC:y=2h$ 法向量垂直，故面面垂直；$V_{P-MAB}:V_{P-ABCD}=\frac{2}{3}{h}^3:\frac{8}{3}{h}^3=1:4$。

方法推广：建系后先求各关键点坐标（尤其是中点），再用法向量判垂直、用底乘高求体积，思路统一。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 21.02 空间向量与线面位置关系判定

类题演练 (Links)

• 2009-山东卷文-18 解-线面平行与面面垂直
• 2011-辽宁卷文-18 解-四棱锥垂直与体积比
• 2012-北京卷文-16 解-折叠与线面垂直
• 2010-北京卷文-17 解-面面垂直与线面垂直