2020-全国卷I理-14 填-向量平行四边形

本题导读

本题考查单位向量的定义，以及向量模的平方运算。

📌【题干】

Question

（2020年全国卷I(理)）14. 设 $\vec{a},\vec{b}$ 为单位向量，且 $|\vec{a}+\vec{b}|=1$，则 $|\vec{a}-\vec{b}|=\underline{}$。

🔍【思路分析】

破题导航

方法一：代数平方法（常规解法）

1. 利用单位向量性质： $|\vec{a}|=|\vec{b}|=1$。
2. 平方处理已知条件： 将 $|\vec{a}+\vec{b}|=1$ 两边平方，展开得到含 $\vec{a}\cdot \vec{b}$ 的等式，求出数量积。
3. 求解目标： 将 $|\vec{a}-\vec{b}|$ 平方展开，代入数量积求值，最后开方。

方法二：几何模型法（直观解法） 以 $\vec{a},\vec{b}$ 为邻边作平行四边形。

• 由于 $|\vec{a}|=|\vec{b}|=1$，该四边形是菱形。
• $|\vec{a}+\vec{b}|=1$ 说明其中一条对角线长度为 1。
• 此时两个单位向量与和向量构成了一个等边三角形。

✅【答案】

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$\sqrt{3}$

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 $\sqrt{3}$

【解析过程】

1. 由已知条件求数量积： 因为 $\vec{a},\vec{b}$ 是单位向量，所以 ${\vec{a}}^2=1,{\vec{b}}^2=1$。 由 $|\vec{a}+\vec{b}|=1$，两边平方得： $(\vec{a}+\vec{b}{)}^2=1$ ${\vec{a}}^2+2\vec{a}\cdot \vec{b}+{\vec{b}}^2=1$ $1+2\vec{a}\cdot \vec{b}+1=1⟹2\vec{a}\cdot \vec{b}=-1$

2. 计算目标模长： $|\vec{a}-\vec{b}{|}^2=(\vec{a}-\vec{b}{)}^2$ $|\vec{a}-\vec{b}{|}^2={\vec{a}}^2-2\vec{a}\cdot \vec{b}+{\vec{b}}^2$ 代入已知数据： $|\vec{a}-\vec{b}{|}^2=1-(-1)+1=3$ 所以，$|\vec{a}-\vec{b}|=\sqrt{3}$。

故答案为：$\sqrt{3}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 平方消模： 处理 $|\vec{a}\pm \vec{b}|$ 问题的核心技巧。
• 菱形对角线公式： 在菱形中，两条对角线 $d_1,d_2$ 与边长 $a$ 满足关系 $d_1^2+d_2^2=2(a^2+a^2)=4a^2$。

• 本题中 $a=1,d_1=1$，则 $1^2+d_2^2=4\times 1^2⟹d_2=\sqrt{3}$。

• 夹角推导： 由 $2\vec{a}\cdot \vec{b}=-1$ 可得 $\cos \theta =-1/2$，即两向量夹角为 $120^{\circ }$。

📖【试题探源与推广】

Tip

如果题目变为“已知 $\vec{a}\perp \vec{b}$”，则数量积为 0，此时 $|\vec{a}+\vec{b}|=|\vec{a}-\vec{b}|=\sqrt{2}$。向量模的计算往往与三角形、平行四边形的几何性质紧密相连，建议在做题时尝试数形结合，验证代数计算的准确性。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.02 平面向量的线性运算
• 09.03 平面向量的数量积

类题演练 (Links)

• 2006-陕西卷理-09 单-向量数量积与垂直的关系
• 2013-新课标II卷理-13 填-平面向量数量积的性质及运算
• 2019-北京卷理-07 单-充分必要条件