2020-全国卷II文-03 单-计数原理

本题导读

本题考查新定义问题，以及计数原理与组合枚举。

📌【题干】

Question

（2020年全国卷II(文)）如图，将钢琴上的 12 个键依次记为 $a_1,a_2,\dots ,a_{12}$。设 $1\le i<j<k\le 12$。若 $k-j=3$ 且 $j-i=4$，则称 $a_i,a_j,a_k$ 为原位大三和弦；若 $k-j=4$ 且 $j-i=3$，则称 $a_i,a_j,a_k$ 为原位小三和弦。用这 12 个键可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦的个数之和为 ( )

A. 5　　　　　　　B. 8　　　　　　　C. 10　　　　　　　D. 15

🔍【思路分析】

破题导航

1. 分别分析“原位大三和弦”和“原位小三和弦”对应的键位下标 $i,j,k$ 满足的方程组。
2. 确定 $i$ 的取值范围，计算满足条件的三元组 $(i,j,k)$ 的个数。
3. 将两类和弦的个数相加得到总数。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

情况一：原位大三和弦。 满足 $k-j=3$ 且 $j-i=4$，相加得 $k-i=7⟹k=i+7$，且 $j=i+4$. 因为 $1\le i<j<k\le 12$，所以需满足 $i+7\le 12⟹i\le 5$. 由于 $1\le i\le 5$，对应的 $i$ 可以取 $1,2,3,4,5$，共 $5$ 种情况。 故原位大三和弦有 $5$ 个。

情况二：原位小三和弦。 满足 $k-j=4$ 且 $j-i=3$，相加得 $k-i=7⟹k=i+7$，且 $j=i+3$. 同理，由 $k\le 12$ 得 $i+7\le 12⟹i\le 5$. 由于 $1\le i\le 5$，对应的 $i$ 可以取 $1,2,3,4,5$，共 $5$ 种情况。 故原位小三和弦有 $5$ 个。

综上所述，原位大三和弦与原位小三和弦的个数之和为 $5+5=10$。 故选：(C)。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：新定义阅读理解、计数原理。
2. 核心方法：将文字定义转化为代数不等式组求解。
3. 避坑指南：审题时注意下标的范围限制 $1\le i<j<k\le 12$，防止边界值多算或漏算。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：高考数学压轴选择题常见的新定义情境题。
2. 结论推广：音乐音程关系与数学等差/固定差值子集选取问题本质相同。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 22.01 计数原理、排列与组合

类题演练 (Links)

• 2008-安徽卷理-12
• 2008-江西卷文-11 单-古典概型计数
• 2008-福建卷理-07