2020-全国卷II文-23 解-不等式选讲

本题导读

本题考查含绝对值不等式的解法。核心在于分段讨论法、最小值分析法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2020年全国卷II(文)）23. [选修 4—5：不等式选讲] 已知函数 $f(x)=|x-a^2|+|x-(2a-1)|$。

（1）当 $a=2$ 时，求不等式 $f(x)\ge 4$ 的解集；

（2）若 $f(x)\ge 4$，求 $a$ 的取值范围。

🔍【思路分析】

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（1）分段讨论法：

• 当 $a=2$ 时，$f(x)=|x-4|+|x-3|$。

• 零点为 3 和 4，将数轴分为 $(-\infty ,3]$, $(3,4)$, $[4,+\infty )$ 三个区间分别去绝对值。

• 分别求出各段的解，最后取并集。

（2）绝对值三角不等式：

• 题目要求 $f(x)\ge 4$ 恒成立，即要求 $f(x)$ 的最小值 $f(x{)}_{\min }\ge 4$。
• 根据绝对值三角不等式 $|A|+|B|\ge |A-B|$，可知： $f(x)=|x-a^2|+|2a-1-x|\ge |(x-a^2)+(2a-1-x)|=|2a-a^2-1|$。
• 最小值为 $|a^2-2a+1|=(a-1{)}^2$。
• 建立不等式 $(a-1{)}^2\ge 4$ 求解即可。

✅【答案】

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不等式的解集为 $\{x|x\le \frac{3}{2}\text{ 或 }x\ge \frac{11}{2}\}$

✍【详细解析】

Abstract

（1）当 $a=2$ 时，求 $f(x)\ge 4$ 的解集 当 $a=2$ 时，$f(x)=|x-4|+|x-3|$。

1. 当 $x\le 3$ 时： $f(x)=(4-x)+(3-x)=7-2x\ge 4⟹2x\le 3⟹x\le \frac{3}{2}$。 此时解为 $x\in (-\infty ,\frac{3}{2}]$。
2. 当 $3<x<4$ 时： $f(x)=(4-x)+(x-3)=1\ge 4$。 此等式不成立，无解。
3. 当 $x\ge 4$ 时： $f(x)=(x-4)+(x-3)=2x-7\ge 4⟹2x\ge 11⟹x\ge \frac{11}{2}$。 此时解为 $x\in [\frac{11}{2},+\infty )$。

综上所述，不等式的解集为 $\{x|x\le \frac{3}{2}\text{ 或 }x\ge \frac{11}{2}\}$。

（2）若 $f(x)\ge 4$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围 由绝对值三角不等式可知： $f(x)=|x-a^2|+|2a-1-x|\ge |x-a^2+2a-1-x|=|-a^2+2a-1|$。 所以 $f(x{)}_{\min }=|a^2-2a+1|=(a-1{)}^2$。 若要 $f(x)\ge 4$ 恒成立，只需： $(a-1{)}^2\ge 4$ 即 $a-1\ge 2$ 或 $a-1\le -2$。 解得 $a\ge 3$ 或 $a\le -1$。 所以 $a$ 的取值范围是 $(-\infty ,-1]\cup [3,+\infty )$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 几何意义的妙用： $|x-A|+|x-B|$ 表示数轴上点 $x$ 到点 $A$ 和点 $B$ 的距离之和。其最小值显然是点 $A$ 与点 $B$ 之间的距离 $|A-B|$。
• 分段讨论的规范： 讨论时要注意区间端点的归属，做到不重不漏。通常习惯左闭右开或左开右闭。
• 恒成立问题的转化： “函数值总是大于等于某常数”等价于“函数最小值大于等于该常数”。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：待补

2. 结论推广：待补

3. 方法推广：待补

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.04 绝对值不等式及排序不等式
• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2013-重庆卷理-16 填-绝对值不等式
• 1990-上海卷-25 解-含参不等式的求解
• 1995-全国卷理-24