2013-重庆卷理-16 填-绝对值不等式

本题导读

本题考查绝对值不等式，以及绝对值不等式的解法。

📌【题干】

Question

（2013年重庆卷(理)） 若关于实数 $x$ 的不等式 $|x-5|+|x+3|<a$ 无解，则实数 $a$ 的取值范围是 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 理解“无解”含义：
   • 不等式 $f(x)<a$ 无解，意味着对于任意实数 $x$，都有 $f(x)\ge a$ 恒成立。
   • 进一步转化为：$a$ 必须小于或等于函数 $f(x)$ 的最小值，即 $a\le f(x{)}_{\min }$。
2. 分析左侧函数 $f(x)=|x-5|+|x+3|$：
   • 几何意义：$|x-5|$ 表示数轴上点 $x$ 到点 $5$ 的距离；$|x+3|$ 表示点 $x$ 到点 $-3$ 的距离。
   • 函数的几何含义是点 $x$ 到定点 $5$ 和 $-3$ 的距离之和。
3. 求最小值：
   • 利用绝对值三角不等式 $|a|+|b|\ge |a-b|$。
   • 或者利用数轴分析：当 $x$ 位于 $-3$ 和 $5$ 之间时，距离之和达到最小，且等于两定点间的距离。

✅【答案】

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$(-\infty ,8]$

✍【详细解析】

Abstract

第一步：求左侧表达式的最小值 利用绝对值三角不等式： $|x-5|+|x+3|=|5-x|+|x+3|\ge |(5-x)+(x+3)|$ $|x-5|+|x+3|\ge |8|=8$

由几何意义可知：

• 当 $x<-3$ 时，$f(x)$ 随 $x$ 减小而增大；
• 当 $x>5$ 时，$f(x)$ 随 $x$ 增大而增大；
• 当 $-3\le x\le 5$ 时，$f(x)=(5-x)+(x+3)=8$（常数）。 因此，函数 $f(x)=|x-5|+|x+3|$ 的最小值为 $8$。

第二步：转化逻辑条件 已知不等式 $f(x)<a$ 无解。 这就要求 $a$ 不能大于 $f(x)$ 能够达到的任何值。 即要求 $a$ 必须小于或等于 $f(x)$ 的最小值： $a\le f(x{)}_{\min }$ $a\le 8$

第三步：得出结论 实数 $a$ 的取值范围是 $(-\infty ,8]$。

故答案为：$(-\infty ,8]$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：见详细解析

核心方法：见详细解析

避坑指南：注意边界值的包含情况。如果是不等式 $|x-5|+|x+3|\le a$ 无解，则结论应为 $a<8$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：恒成立问题、绝对值不等式的区域解法。

结论推广：函数 $f(x)=|x-a|+|x-b|$ 的图象呈“锅底”状，其底部（最小值）对应区间 $[a,b]$ 上的常数值 $|a-b|$。

方法推广：解决含绝对值的函数问题，分段讨论是万能法，几何距离法是速解法。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.04 绝对值不等式及排序不等式
• 20.03 导数研究单调性与极值最值
• 05.03 专题-恒成立问题

类题演练 (Links)

• 2015-新课标I卷文-24 解-绝对值不等式
• 2014-辽宁卷文-24 解-绝对值不等式
• 2014-江西卷文-15 填-绝对值不等式