2020-全国卷II理-17 解-解三角形

本题导读

本题考查正弦定理。核心在于代数变形法、均值不等式法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2020年全国卷II(理)）17. $△ABC$ 中，${\sin }^{2}A-{\sin }^{2}B-{\sin }^{2}C=\sin B\sin C$。

（1）求 $A$；

（2）若 $BC=3$，求 $△ABC$ 周长的最大值。

🔍【思路分析】

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（1）求角 $A$：

• 转化思路： 题目给出的是正弦的平方关系，根据正弦定理 $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$，可以将所有的 $\sin$ 转化为边。

• 代数推导： 得到 $a^2-b^2-c^2=bc$，变形为 $b^2+c^2-a^2=-bc$。

• 利用余弦定理： $\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$，代入即可求出 $\cos A$。

（2）求周长最大值：

• 已知量： $a=3$，$A=120^{\circ }$。
• 建立关系： 利用余弦定理 $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$。
• 最值构造： 将右式化为 $(b+c{)}^2$ 的形式，利用基本不等式 $bc\le (\frac{b+c}{2}{)}^2$ 建立关于 $b+c$ 的不等式，从而求出 $b+c$ 的上限。

✅【答案】

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$A=\frac{2\pi }{3}(120^{\circ })$

✍【详细解析】

Abstract

（1）求 $A$ 由正弦定理 $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$ 得： $\sin A=\frac{a}{2R},\sin B=\frac{b}{2R},\sin C=\frac{c}{2R}$。 代入已知条件 ${\sin }^{2}A-{\sin }^{2}B-{\sin }^{2}C=\sin B\sin C$ 得： $\frac{a^2}{4R^2}-\frac{b^2}{4R^2}-\frac{c^2}{4R^2}=\frac{b}{2R}\cdot \frac{c}{2R}$ 整理得：$a^2-b^2-c^2=bc$，即 $b^2+c^2-a^2=-bc$。 由余弦定理： $\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\frac{-bc}{2bc}=-\frac{1}{2}$ 因为 $A\in (0,\pi )$，所以 $A=\frac{2\pi }{3}(120^{\circ })$。

（2）求 $△ABC$ 周长的最大值 已知 $a=BC=3$，$A=120^{\circ }$。 由余弦定理 $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$： $3^2=b^2+c^2-2bc\cos 120^{\circ }$ $9=b^2+c^2+bc$ 为了求周长 $L=3+b+c$ 的最大值，我们将上式变形为： $9=(b+c{)}^2-bc$ 根据基本不等式 $bc\le {\left(\frac{b+c}{2}\right)}^2$，则 $-bc\ge -\frac{(b+c{)}^2}{4}$。 代入等式得： $9=(b+c{)}^2-bc\ge (b+c{)}^2-\frac{(b+c{)}^2}{4}=\frac{3}{4}(b+c{)}^2$ 即：$(b+c{)}^2\le 12⟹b+c\le \sqrt{12}=2\sqrt{3}$。 （当且仅当 $b=c=\sqrt{3}$ 时，等号成立，此时为等腰三角形）。 所以周长 $L=a+b+c\le 3+2\sqrt{3}$。 故 $△ABC$ 周长的最大值为 $3+2\sqrt{3}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 角化边 vs 边化角： 一般来说，已知条件中含有 ${\sin }^2$ 或 $a,b,c$ 乘积项时，“角化边”更容易结合余弦定理；若含有 $\sin A\cos B$ 等项时，则考虑“边化角”。
• 钝角三角形判定： $b^2+c^2-a^2<0$ 意味着角 $A$ 为钝角，这与本题结果一致。
• 均值不等式的应用： 在解三角形最值问题中，利用 $b^2+c^2=(b+c{)}^2-2bc$ 结合 $bc\le (\frac{b+c}{2}{)}^2$ 是求周长的标准路径；如果是求面积最大值，则应保留 $bc$ 项。

📖【试题探源与推广】

Tip

本题第二问也可以通过正弦定理参数化来解： 设 $b=2R\sin B,c=2R\sin C$。利用 $B+C=60^{\circ }$，将 $b+c$ 化为辅助角公式形式 $b+c=\dots \sin (B+\varphi )$。这种方法在处理非特殊角或更复杂的约束条件时也非常有效。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 11.01 正弦定理
• 11.02 余弦定理

类题演练 (Links)

• 2014-辽宁卷文-17 解-解三角形
• 2014-陕西卷文-16 解-解三角形
• 2003-上海卷理-07