2020-全国卷III文-07 单-向量垂直

本题导读

本题考查抛物线的定义与性质，以及向量垂直与坐标运算。

📌【题干】

Question

（2020年全国卷III(文)）设 $O$ 为坐标原点，直线 $x=2$ 与抛物线 $C:y^2=2px(p>0)$ 交于 $D,E$ 两点. 若 $OD\perp OE$，则 $C$ 的焦点坐标为 ( )

A. $(\frac{1}{4},0)$　　　　B. $(\frac{1}{2},0)$　　　　C. $(1,0)$　　　　D. $(2,0)$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 联立直线与抛物线方程求出交点 $D,E$ 的坐标。

2. 利用向量垂直数量积为零建立方程求解参数 $p$。

✅【答案】

点击查看答案

B

✍【详细解析】

Abstract

将 $x=2$ 代入抛物线方程 $y^2=2px$ 得 $y^2=4p$，

由抛物线的对称性，可设 $D(2,2\sqrt{p}),E(2,-2\sqrt{p})$。

因为 $OD\perp OE$，所以 $\overrightarrow{OD}\cdot \overrightarrow{OE}=0$。

$\overrightarrow{OD}=(2,2\sqrt{p})$，$\overrightarrow{OE}=(2,-2\sqrt{p})$，

$\overrightarrow{OD}\cdot \overrightarrow{OE}=2\times 2+2\sqrt{p}\cdot (-2\sqrt{p})=4-4p=0$，

解得 $p=1$。

此时抛物线方程为 $y^2=2x$，其焦点坐标为 $(\frac{1}{2},0)$。

故选：B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：抛物线焦点坐标、向量垂直。

2. 核心方法：交点坐标代入法。

3. 避坑指南：注意抛物线焦点公式为 $(\frac{p}{2},0)$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 2020年高考数学全国卷III文科第7题。

2. 结论推广: 抛物线通径端点与原点连线的垂直关系。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.03 抛物线专题全总结

• 09.02 平面向量的线性运算

类题演练 (Links)

• 2014-新课标I卷理-10 单-抛物线定义

• 2005-江苏卷-06 单-抛物线的定义

• 2006-四川卷理-09 单-梯形的面积公式