2020-全国卷III文-16 填-几何体体积

本题导读

本题考查圆锥中的内切球，以及几何体体积计算。

📌【题干】

Question

（2020年全国卷III(文)）已知圆锥的底面半径为 $1$，母线长为 $3$，则该圆锥内半径最大的球的体积为________.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 作出圆锥的轴截面，将三维问题转化为二维三角形的内切圆问题。
2. 利用三角形相似或面积法求出内切圆半径（即球半径）。
3. 代入球的体积公式计算体积。

✅【答案】

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$\frac{\sqrt{2}}{3}\pi$

✍【详细解析】

Abstract

圆锥的轴截面是一个等腰三角形，设其顶点为 $S$，底面直径为 $AB$。 底面半径 $r=1$，母线长 $l=3$， 则底面直径 $AB=2$，腰长 $SA=SB=3$。 圆锥的高 $h=\sqrt{S{A}^2-O{A}^2}=\sqrt{3^2-1^2}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$。 设内切球的半径为 $R$，在轴截面等腰三角形 $SAB$ 中，内切圆的半径即为 $R$。 利用等腰三角形的面积公式（按周长分割法）： 三角形面积 $S_{△SAB}=\frac{1}{2}\times \text{底}\times \text{高}=\frac{1}{2}\times 2\times 2\sqrt{2}=2\sqrt{2}$。 同时，等腰三角形面积也可以表示为 $S_{△SAB}=\frac{1}{2}\times (\text{周长})\times R=\frac{1}{2}\times (3+3+2)\times R=\frac{1}{2}\times 8\times R=4R$。 所以 $4R=2\sqrt{2}⟹R=\frac{\sqrt{2}}{2}$。 该内切球的体积为 $V=\frac{4}{3}\pi R^3=\frac{4}{3}\pi {\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}^3=\frac{4}{3}\pi \cdot \frac{2\sqrt{2}}{8}=\frac{\sqrt{2}}{3}\pi$。 故答案为：$\frac{\sqrt{2}}{3}\pi$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：圆锥内切球、球的体积。
2. 核心方法：轴截面等面积法。
3. 避坑指南：注意内切球与底面及母线均相切，切勿把内切球半径当成圆锥高的一半。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 2020年高考数学全国卷III文科第16题。
2. 结论推广: 旋转体内切球半径通常通过轴截面三角形的等面积法求解。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.02 外接球和内切球模型
• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 2009-陕西卷文-11 单-正八面体体积
• 2010-湖北卷文-14 填-圆柱内切球体积
• 2010-福建卷理-18