2009-陕西卷文-11 单-正八面体体积

本题导读

考查正八面体体积。面中心连线长 $1$，即正八面体棱长为 $1$，$V=\frac{\sqrt{2}}{3}\times 1^3=\frac{\sqrt{2}}{3}$，选 B。

📌【题干】

Question

（2009年陕西卷(文)） 若正方体的棱长为 $\sqrt{2}$，则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为 ()

A. $\frac{\sqrt{2}}{6}$　　　　　　　B. $\frac{\sqrt{2}}{3}$　　　　　　　C. $\frac{\sqrt{3}}{3}$　　　　　　　D. $\frac{2}{3}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 六面中心构成正八面体，顶点在正方体中心上下左右前后，距中心 $\frac{\sqrt{2}}{2}$。
2. 相邻两顶点距离 $\sqrt{{\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}^2+{\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}^2}=1$，即棱长 $a=1$。
3. 正八面体体积 $V=\frac{\sqrt{2}}{3}{a}^3=\frac{\sqrt{2}}{3}$。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

以正方体六个面的中心为顶点的凸多面体是正八面体。 正方体棱长为 $\sqrt{2}$，则面中心到正方体中心的距离为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$， 正八面体的棱长（相邻两面中心的距离）为 $\sqrt{{\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}^2+{\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}^2}=1.$ 棱长为 $a$ 的正八面体体积为 $\frac{\sqrt{2}}{3}{a}^3$，故所求体积为 $V=\frac{\sqrt{2}}{3}\times 1^3=\frac{\sqrt{2}}{3}.$ 故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：正方体内接正八面体的体积

核心方法：六个面中心为顶点，棱长等于面对角线的一半

避坑指南：正方体棱长 $\sqrt{2}$ 时，正八面体棱长是 $1$ 而非 $\sqrt{2}$；体积公式中 $a$ 指正八面体的棱长。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：正方体与正八面体互为对偶多面体：顶点与面中心互换。

结论推广：棱长为 $a$ 的正八面体体积 $V=\frac{\sqrt{2}}{3}{a}^3$（两个全等正四棱锥拼成），结论可直接记忆。

方法推广：对偶关系求棱长：新棱长 $=$ 相邻两面中心的距离，用勾股定理算。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 2009-大纲卷II文-12 单-正方体展开图
• 2009-新课标卷文-09 单-正方体动点判定
• 2009-安徽卷文-20 解-空间向量与体积
• 2009-新课标卷文-18 解-向量垂直与三棱锥体积