2020-全国卷III理-06 单-向量夹角

本题导读

本题考查向量数量积的定义与分配律，以及向量模的计算公式。

📌【题干】

Question

（2020年全国卷III(理)）6. 已知向量 $\vec{a},\vec{b}$ 满足 $|\vec{a}|=5$，$|\vec{b}|=6$，$\vec{a}\cdot \vec{b}=-6$，则 $\cos ⟨\vec{a},\vec{a}+\vec{b}⟩=$（ ）

A. $-\frac{31}{35}$　　　　　B. $-\frac{19}{35}$　　　　　C. $\frac{17}{35}$　　　　　D. $\frac{19}{35}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 确定夹角公式： 设新向量 $\vec{c}=\vec{a}+\vec{b}$，则待求值为： $\cos ⟨\vec{a},\vec{c}⟩=\frac{\vec{a}\cdot \vec{c}}{|\vec{a}|\cdot |\vec{c}|}=\frac{\vec{a}\cdot (\vec{a}+\vec{b})}{|\vec{a}|\cdot |\vec{a}+\vec{b}|}$

2. 分子计算（数量积分配律）： 利用 $\vec{a}\cdot (\vec{a}+\vec{b})={\vec{a}}^2+\vec{a}\cdot \vec{b}$。

3. 分母计算（向量模的平方）： 利用 $|\vec{a}+\vec{b}{|}^2={\vec{a}}^2+2\vec{a}\cdot \vec{b}+{\vec{b}}^2$ 求出 $|\vec{a}+\vec{b}|$。

✅【答案】

点击查看答案

D

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 D

【解析过程】

1. 计算分子（数量积）： $\vec{a}\cdot (\vec{a}+\vec{b})={\vec{a}}^2+\vec{a}\cdot \vec{b}=|\vec{a}{|}^2+\vec{a}\cdot \vec{b}$ 代入已知条件：$5^2+(-6)=25-6=19$。

2. 计算分母中的模长 $|\vec{a}+\vec{b}|$： $|\vec{a}+\vec{b}{|}^2={\vec{a}}^2+2\vec{a}\cdot \vec{b}+{\vec{b}}^2=|\vec{a}{|}^2+2\vec{a}\cdot \vec{b}+|\vec{b}{|}^2$ 代入已知条件：$5^2+2(-6)+6^2=25-12+36=49$。 所以 $|\vec{a}+\vec{b}|=\sqrt{49}=7$。

3. 代入夹角公式： $\cos ⟨\vec{a},\vec{a}+\vec{b}⟩=\frac{19}{5\times 7}=\frac{19}{35}$

故选：D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 向量模的平方公式： 这是向量解答题中最常用的公式。注意中间项是 $2\vec{a}\cdot \vec{b}$ 而不是 $\vec{a}\cdot \vec{b}$。
• 符号敏感度： 数量积为负数表示两向量夹角为钝角。本题中 $\vec{a}\cdot \vec{b}=-6$，说明 $\vec{b}$ 在一定程度上抵消了 $\vec{a}$ 的长度，但由于 $|\vec{a}|$ 足够大，合成后的向量与 $\vec{a}$ 依然成锐角（余弦值为正）。
• 计算陷阱： 很多同学在求模长时容易忘记开根号，算出 49 直接代入分母导致出错。

📖【试题探源与推广】

Tip

如果题目要求的是 $\cos ⟨\vec{b},\vec{a}+\vec{b}⟩$，计算方法完全一致，分子变为 $\vec{b}\cdot \vec{a}+{\vec{b}}^2=-6+36=30$，结果为 $\frac{30}{6\times 7}=\frac{5}{7}$。在向量问题中，通过这种对称性的练习可以大幅提高运算的稳健性。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.03 平面向量的数量积
• 09.02 平面向量的线性运算

类题演练 (Links)

• 2008-江苏卷-22 解-正方体向量夹角
• 2008-江西卷文-16 填-正六边形向量数量积
• 2008-湖北卷文-01 单-向量数量积坐标运算