2008-江苏卷-22 解-正方体向量夹角

本题导读

正方体对角线上的动点：按比例 $\lambda$ 写出 $P$ 的坐标，$\angle APC$ 为钝角等价于 $\overrightarrow{PA}\cdot \overrightarrow{PC}<0$，解一次不等式。

📌【题干】

Question

（2008年江苏卷） 如图，设动点 $P$ 在棱长为 $1$ 的正方体 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 的对角线 $B{D}_1$ 上，记 $\frac{D_{1}P}{D_{1}B}=\lambda$. 当 $\angle APC$ 为钝角时，求 $\lambda$ 的取值范围.

🔍【思路分析】

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1. 建系写出各点坐标，由 $\frac{D_{1}P}{D_{1}B}=\lambda$ 得 $P=(\lambda ,1-\lambda ,1-\lambda )$。
2. $\angle APC$ 为钝角 $\iff$ $\overrightarrow{PA}\cdot \overrightarrow{PC}<0$（$P$ 不与 $A$、$C$ 重合，排除平角）。
3. 解 $(1-\lambda )(1-3\lambda )<0$，结合 $0⩽\lambda ⩽1$。

✅【答案】

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$\lambda \in \left(\frac{1}{3},1\right)$

✍【详细解析】

Abstract

建系：$A=(0,0,0)$，$B=(1,0,0)$，$C=(1,1,0)$，$D=(0,1,0)$，$D_1=(0,1,1)$。 由 $\frac{D_{1}P}{D_{1}B}=\lambda$，$P=D_1+\lambda (B-D_1)=(\lambda ,1-\lambda ,1-\lambda )$，$0⩽\lambda ⩽1$。 $\overrightarrow{PA}=(-\lambda ,\lambda -1,\lambda -1)$，$\overrightarrow{PC}=(1-\lambda ,\lambda ,\lambda -1)$。 $\overrightarrow{PA}\cdot \overrightarrow{PC}=-\lambda (1-\lambda )+(\lambda -1)\lambda +(\lambda -1{)}^2=3{\lambda }^2-4\lambda +1=(1-\lambda )(1-3\lambda )$。 由 $\angle APC$ 不可能为平角，$\angle APC$ 为钝角等价于 $\overrightarrow{PA}\cdot \overrightarrow{PC}<0$， 即 $(1-\lambda )(1-3\lambda )<0$，解得 $\frac{1}{3}<\lambda <1$。 所以 $\lambda$ 的取值范围为 $\left(\frac{1}{3},1\right)$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：正方体中的空间向量夹角

核心方法：建系坐标法，数量积正负定角

避坑指南：$\overrightarrow{PA}\cdot \overrightarrow{PC}<0$ 对应钝角但需排除共线平角；$\lambda$ 的范围要结合 $0⩽\lambda ⩽1$ 取交。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：2009 新课标Ⅰ文第 9 题、2009 大纲Ⅰ文第 8 题同为向量夹角小题。

结论推广：正方体建系后，对角线上的点按比例参数化是标准动作。

方法推广：钝角判定用数量积小于零，但共线情形要单独排除。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.06 正方体的性质
• 09.03 平面向量的数量积

类题演练 (Links)

• 2009-新课标卷文-09 单-正方体动点判定
• 2009-江西卷文-14 填-正方体与球
• 2009-广东卷文-16 解-向量垂直与差角
• 2009-大纲卷I文-08 单-向量夹角