2020-全国卷III理-07 单-解三角形

本题导读

本题考查余弦定理 $c^2=a^2，以及余弦定理变形公式$\cos B。

📌【题干】

Question

（2020年全国卷III(理)）7. 在 $△ABC$ 中，$\cos C=\frac{2}{3}$，$AC=4$，$BC=3$，则 $\cos B=$（ ）

A. $\frac{1}{9}$　　　　　　　B. $\frac{1}{3}$　　　　　　　C. $\frac{1}{2}$　　　　　　　D. $\frac{2}{3}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 求出第三边 $AB$： 已知 $a=BC=3,b=AC=4,\cos C=\frac{2}{3}$，根据余弦定理： $c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$

2. 求出 $\cos B$： 得到 $c$ 之后，利用三边长度求 $\cos B$ 的变形公式： $\cos B=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}$

3. 几何直观（选看）： 计算出 $AB=3$ 后，发现 $AB=BC$，即 $△ABC$ 是以 $B$ 为顶角的等腰三角形。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 A

【解析过程】

1. 计算 $AB$ 的长度： 在 $△ABC$ 中，由余弦定理得： $A{B}^2=A{C}^2+B{C}^2-2AC\cdot BC\cdot \cos C$ $A{B}^2=4^2+3^2-2\times 4\times 3\times \frac{2}{3}$ $A{B}^2=16+9-16=9$ 所以 $AB=3$。

2. 计算 $\cos B$ 的值： 由余弦定理变形公式得： $\cos B=\frac{A{B}^2+B{C}^2-A{C}^2}{2AB\cdot BC}$ $\cos B=\frac{3^2+3^2-4^2}{2\times 3\times 3}$ $\cos B=\frac{9+9-16}{18}=\frac{2}{18}=\frac{1}{9}$。

故选：A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 余弦定理的适用场景： “边角边”（SAS）求第三边，“边边边”（SSS）求任意角。
• 等腰三角形的特殊性： 算出 $AB=3$ 后，若能意识到 $AB=BC$，则 $△ABC$ 关于角 $B$ 的平分线对称，此时作 $BD\perp AC$ 于 $D$，则 $D$ 为 $AC$ 中点，$AD=DC=2$。在 $Rt△ABD$ 中，$\cos A=\frac{AD}{AB}=\frac{2}{3}$，且因为等腰 $\angle A=\angle C$（验证了 $\cos A=\cos C=2/3$）。
• 计算准确性： 解三角形题目计算量不大，但极易在平方或倍乘处出错，务必细心。

📖【试题探源与推广】

Tip

如果题目要求求出 $\sin B$ 的值，我们可以利用同角三角函数平方关系：$\sin B=\sqrt{1-{\cos }^{2}B}=\sqrt{1-(\frac{1}{9}{)}^2}=\frac{4\sqrt{5}}{9}$。或者利用正弦定理 $\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$ 求解（需先通过 $\cos C$ 求出 $\sin C$）。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 11.02 余弦定理

类题演练 (Links)

• 2008-安徽卷文-05 单-余弦定理求角
• 2014-辽宁卷文-17 解-解三角形
• 2014-陕西卷文-16 解-解三角形