2020-全国卷III理-18 解-独立性检验

本题导读

本题考查频率估计概率。核心在于统计分析法、数据分类汇总的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2020年全国卷III(理)）某学生兴趣小组随机调查了某市 100 天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，数据如下表：

空气质量等级 \ 锻炼人次	[0, 200]	(200, 400]	(400, 600]	合计
1 (优)	2	16	25	43
2 (良)	5	10	12	27
3 (轻度污染)	6	7	8	21
4 (中度污染)	7	2	0	9
合计	20	35	45	100

（1）分别估计该市一天的空气质量等级为 1, 2, 3, 4 的概率；

（2）求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；

（3）若等级 1 或 2 为“空气质量好”，等级 3 或 4 为“空气质量不好”。根据数据完成 $2\times 2$ 列联表，并判断是否有 95% 的把握认为锻炼人次与空气质量有关？

🔍【思路分析】

破题导航

（1）频率估计概率： 利用各等级的天数除以总天数（100）。

（2）平均数计算：

• 组中值分别为：100, 300, 500。
• 对应频数（总人次分布）：20, 35, 45。
• 公式：$\bar{x}=\frac{\sum (\text{组中值}\times \text{频数})}{\text{总样本量}}$。

（3）独立性检验：

• 分类汇总： * 空气好：等级 1+2；空气不好：等级 3+4。
  • 人次 $\le 400$：[0, 200] + (200, 400]；人次 $>400$：(400, 600]。
• 计算 $K^2$： 代入公式 $K^2=\frac{n(ad-bc{)}^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$。
• 查表对比： 若 $K^2>3.841$，则有 95% 的把握认为有关。

✅【答案】

点击查看答案

有 95% 的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与当天空气质量有关

✍【详细解析】

Abstract

（1）估计空气质量等级概率

• 等级 1 的概率 $P_1=\frac{2+16+25}{100}=0.43$；
• 等级 2 的概率 $P_2=\frac{5+10+12}{100}=0.27$；
• 等级 3 的概率 $P_3=\frac{6+7+8}{100}=0.21$；
• 等级 4 的概率 $P_4=\frac{7+2+0}{100}=0.09$。

（2）平均锻炼人次估计值 组中值 $x_1=100,x_2=300,x_3=500$。 各组频数分别为 $f_1=20,f_2=35,f_3=45$。 $\bar{x}=\frac{100\times 20+300\times 35+500\times 45}{100}=\frac{2000+10500+22500}{100}=\frac{35000}{100}=350$。 所以，平均人次的估计值为 350 人次。

（3）独立性检验 $2\times 2$ 列联表如下：

	人次 $\le 400$	人次 $>400$	合计
空气质量好 (1,2)	33	37	70
空气质量不好 (3,4)	22	8	30
合计	55	45	100

注：空气质量好且人次 $\le 400$ 为 $(2+16)+(5+10)=33$；空气质量不好且人次 $>400$ 为 $8+0=8$。以此类推。

计算 $K^2$： $K^2=\frac{100\times (33\times 8-37\times 22{)}^2}{70\times 30\times 55\times 45}$ $K^2=\frac{100\times (264-814{)}^2}{2100\times 2475}=\frac{100\times (-550{)}^2}{5197500}$ $K^2=\frac{100\times 302500}{5197500}\approx 5.820$

结论： 因为 $5.820>3.841$， 所以有 95% 的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与当天空气质量有关。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 数据的准确提取： 第（3）问汇总数据时最容易出错。建议在草稿纸上圈出等级 1,2 对应的行和锻炼人次的两大列，交叉求和。
• 计算技巧： $K^2$ 的分母通常很大，计算时可以先约分。例如 $550^2/(55\times 45)=(55\times 10\times 55\times 10)/(55\times 45)$。
• 统计决策： 临界值 3.841 对应的是 0.05 的显著性水平，即“95% 的把握”。如果计算结果小于该值，则结论为“没有把握”。

📖【试题探源与推广】

Tip

如果题目要求 “有 99% 的把握”，则需要查 $P(K^2\ge 6.635)=0.010$ 这一列。由于 $5.820<6.635$，此时结论将变为“没有 99% 的把握”。这种对比能帮助学生理解统计推断中“把握度”与“严格程度”的正相关关系。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 14.01随机抽样、平均数与方差
• 24.02 独立性检验与 2X2 列联表

类题演练 (Links)

• 2014-江西卷理-06 单-卡方统计量 chi^2
• 2008-山东卷理-08
• 2008-新课标卷文-19 解-平均数与古典概型