2008-新课标卷文-19 解-平均数与古典概型

本题导读

考查平均数与古典概型。总体平均数 $7.5$；样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过 $0.5$ 等价于 $14⩽x_1+x_2⩽16$，共 $7$ 个样本，概率 $\frac{7}{15}$。

📌【题干】

Question

（2008年新课标卷(文)） 为了了解《中华人民共和国道路交通安全法》在学生中的普及情况，调查部门对某校 $6$ 名学生进行问卷调查. $6$ 人得分情况如下：$5$，$6$，$7$，$8$，$9$，$10$. 把这 $6$ 名学生的得分看成一个总体.

(1)求该总体的平均数；

(2)用简单随机抽样方法从这 $6$ 名学生中抽取 $2$ 名，他们的得分组成一个样本. 求该样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过 $0.5$ 的概率.

🔍【思路分析】

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1. 六个得分的算术平均即总体平均数。
2. 从 6 人中抽 2 人，共有 ${\mathrm{C}}_6^2=15$ 个等可能样本。
3. 把”样本平均数与总体平均数之差不超过 0.5”转化为两得分之和的范围。
4. 数出满足条件的样本数，求概率。

✅【答案】

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(1)$7.5$；(2)$\frac{7}{15}$

✍【详细解析】

Abstract

(1)总体平均数为 $\bar{x}=\frac{5+6+7+8+9+10}{6}=\frac{45}{6}=\mathrm{7.5.}$ (2)从 $6$ 名学生中抽取 $2$ 名的样本共有 ${\mathrm{C}}_6^2=15$ 个，且这些样本等可能. 设抽到的两个得分为 $x_1,x_2$，样本平均数为 $\frac{x_1+x_2}{2}$. 要求 $\left|\frac{x_1+x_2}{2}-7.5\right|⩽0.5$，即 $14⩽x_1+x_2⩽16.$ 在得分 $5,6,7,8,9,10$ 中，得分和为 $14$ 的样本有 $(5,9)$，$(6,8)$，共 $2$ 个； 得分和为 $15$ 的样本有 $(5,10)$，$(6,9)$，$(7,8)$，共 $3$ 个； 得分和为 $16$ 的样本有 $(6,10)$，$(7,9)$，共 $2$ 个. 故满足条件的样本共 $2+3+2=7$ 个，所求概率为 $P=\frac{7}{15}.$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：平均数与古典概型

核心方法：$\bar{x}=7.5$；$|x_1+x_2-15|⩽1$ 有 7 个样本，$P=\frac{7}{15}$

避坑指南：样本平均数与总体平均数之差不超过 $0.5$ 等价于 $14⩽x_1+x_2⩽16$；逐一列举得分和为 $14,15,16$ 的样本，别漏别重。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：统计+概率综合是新课标卷解答题稳定题型，2009 新课标Ⅰ文第 19 题、2011 上海文第 13 题同型。

结论推广：平均数 $\bar{x}=\frac{1}{n}\sum x_i$；古典概型 $P=\frac{m}{n}$；“差不超过 $0.5$“转成和的范围。

方法推广：把概率条件翻译成两数之和的范围，再穷举求和；样本总数 ${\mathrm{C}}_6^2=15$ 是分母。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 14.01随机抽样、平均数与方差
• 14.03 频率分布直方图中的数据计算

类题演练 (Links)

• 2009-新课标卷文-19 解-分层抽样与频率分布
• 2010-辽宁卷文-13 填-卡片排列概率
• 2011-上海卷文-13 填-生日对立事件概率
• 2009-江西卷文-18 解-独立重复概率