2020-全国卷III理-21 解-导数综合

本题导读

本题考查导数的几何意义。核心在于导数工具法、极值比较法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2020年全国卷III(理)）21. 设函数 $f(x)=x^3+bx+c$，曲线 $y=f(x)$ 在点 $(\frac{1}{2},f(\frac{1}{2}))$ 处的切线与 $y$ 轴垂直。

（1）求 $b$；

（2）若 $f(x)$ 有一个绝对值不大于 1 的零点，证明：$f(x)$ 所有零点的绝对值都不大于 1。

🔍【思路分析】

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（1）求参数 $b$：

• “切线与 $y$ 轴垂直”意味着切线的斜率 $k=0$。
• 根据导数的几何意义，$f^{\prime }(\frac{1}{2})=0$。求导代入即可。

（2）证明零点范围（核心难点）：

• 单调性分析： 先确定 $f(x)$ 的极值点（$\pm 1/2$）和单调区间。

• 关键点取值： 计算 $f(-1),f(-1/2),f(1/2),f(1)$ 的值。发现它们都与参数 $c$ 有关，且呈现出对称的结构。

• 逻辑突破： * 题设条件“有一个零点 $x_0\in [-1,1]$”实质上限制了参数 $c$ 的取值范围。

  • 如果 $|c|>1/4$，函数图像会整体上移或下移过多，导致零点“跑”到 $[-1,1]$ 之外。
  • 通过反证法：假设存在一个零点 $|x_1|>1$，推导出这与“存在一个零点 $|x_0|\le 1$”相矛盾。

✅【答案】

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$f(x)$ 的所有零点均落在区间 $[-1,1]$ 内

✍【详细解析】

Abstract

（1）求 $b$ $f^{\prime }(x)=3x^2+b$。 由于在 $x=\frac{1}{2}$ 处的切线与 $y$ 轴垂直，则 $f^{\prime }(\frac{1}{2})=0$。 $3\times (\frac{1}{2}{)}^2+b=0⟹\frac{3}{4}+b=0$。 解得 $b=-\frac{3}{4}$。

（2）证明零点绝对值均不大于 1 1. 确定函数特征： 由（1）知 $f(x)=x^3-\frac{3}{4}x+c$，则 $f^{\prime }(x)=3(x+\frac{1}{2})(x-\frac{1}{2})$。

• $f(x)$ 在 $(-\infty ,-\frac{1}{2})$ 和 $(\frac{1}{2},+\infty )$ 单调递增；
• $f(x)$ 在 $(-\frac{1}{2},\frac{1}{2})$ 单调递减。 极值点取值： $f(-1)=c-\frac{1}{4}$，$f(-\frac{1}{2})=c+\frac{1}{4}$，$f(\frac{1}{2})=c-\frac{1}{4}$，$f(1)=c+\frac{1}{4}$。

2. 挖掘隐藏条件： 已知 $f(x)$ 有一个零点 $m\in [-1,1]$。

• 若 $c>\frac{1}{4}$，则 $f(x)$ 在 $[-1,1]$ 上的最小值为 $f(-1)=f(\frac{1}{2})=c-\frac{1}{4}>0$。此时 $f(x)$ 在 $[-1,1]$ 上无零点，矛盾。
• 若 $c<-\frac{1}{4}$，则 $f(x)$ 在 $[-1,1]$ 上的最大值为 $f(-\frac{1}{2})=f(1)=c+\frac{1}{4}<0$。此时 $f(x)$ 在 $[-1,1]$ 上无零点，矛盾。 因此，必有 $-\frac{1}{4}\le c\le \frac{1}{4}$。

3. 证明所有零点都在 $[-1,1]$ 内： 在上述 $c$ 的范围内，观察端点值：

• $f(-1)=c-\frac{1}{4}\le 0$
• $f(1)=c+\frac{1}{4}\ge 0$ 由于 $x\to -\infty$ 时 $f(x)\to -\infty$，$x\to +\infty$ 时 $f(x)\to +\infty$：
• 如果 $x<-1$，由于 $f(x)$ 在 $(-\infty ,-1]$ 单调递增，则 $f(x)<f(-1)\le 0$。故 $x\in (-\infty ,-1)$ 且 $f(-1)\ne 0$ 时无零点。
• 如果 $x>1$，由于 $f(x)$ 在 $[1,+\infty )$ 单调递增，则 $f(x)>f(1)\ge 0$。故 $x\in (1,+\infty )$ 且 $f(1)\ne 0$ 时无零点。
• 特殊情况：若 $c=1/4$，则 $f(-1)=0$，零点为 $-1,1/2$；若 $c=-1/4$，则 $f(1)=0$，零点为 $1,-1/2$。 综上所述，$f(x)$ 的所有零点均落在区间 $[-1,1]$ 内。

即 $f(x)$ 所有零点的绝对值都不大于 1。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 导数与单调性： 压轴题的第一步永远是求导看单调性，画出草图是理解零点分布的关键。
• 参数 $c$ 的双重限制： 这一类题目通常利用“存在零点”反推参数范围，再利用该范围锁定“其他零点”。
• 反证法 vs 直接法： 本题使用直接法（确定 $c$ 的范围后观察端点）比解析给出的反证法更直观。

📖【试题探源与推广】

Tip

在本题中，$f(-1/2)$ 和 $f(1/2)$ 的差值恰好是 $1/2$。

• 当 $|c|<1/4$ 时，极大值 $>0$ 且极小值 $<0$，函数有 3 个不同的零点。
• 当 $|c|=1/4$ 时，其中一个极值点正好是零点，函数有 2 个零点（其中一个是二重根）。 这种对三次函数图像左右、上下平移的整体把握，是攻克导数压轴题的高级直觉。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.01 导数定义与几何意义
• 20.03 导数研究单调性与极值最值

类题演练 (Links)

• 2011-天津卷理-19
• 2024-北京卷-20 解-导数综合
• 2021-新高考II卷-21 解-概率综合