2020-北京卷-07 单-抛物线性质

本题导读

本题考查抛物线的定义，以及线段垂直平分线的性质。

📌【题干】

Question

（2020年北京卷）7. 设抛物线的顶点为 $O$，焦点为 $F$，准线为 $l$。$P$ 是抛物线上异于 $O$ 的一点，过 $P$ 作 $PQ\perp l$ 于 $Q$，则线段 $FQ$ 的垂直平分线（ ）

A. 经过点 $O$　B. 经过点 $P$　C. 平行于直线 $OP$　D. 垂直于直线 $OP$

🔍【思路分析】

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1. 回顾垂直平分线性质： 若一条直线是线段 $FQ$ 的垂直平分线，则该直线上的任意一点到 $F$ 的距离等于它到 $Q$ 的距离。 反之，若证明了某点 $M$ 满足 $|MF|=|MQ|$，则点 $M$ 必在 $FQ$ 的垂直平分线上。

2. 调用抛物线定义： 抛物线上的点到焦点的距离等于它到准线的距离。

已知 $PQ\perp l$ 且 $Q$ 在准线上，则 $|PQ|$ 就是点 $P$ 到准线 $l$ 的距离。 根据定义：$|PF|=|PQ|$。

3. 逻辑合并： 既然 $|PF|=|PQ|$，说明点 $P$ 符合垂直平分线的判定条件。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 B

【解析过程】

1. 分析点 $P$ 的性质： 因为 $P$ 是抛物线上的一点，$F$ 是焦点，$l$ 是准线，$PQ\perp l$ 于 $Q$， 根据抛物线的定义：点 $P$ 到焦点的距离等于点 $P$ 到准线的距离， 即：$|PF|=|PQ|$
2. 联系垂直平分线： 由于到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上， 由 $|PF|=|PQ|$ 可知，点 $P$ 必然在线段 $FQ$ 的垂直平分线上。 因此，线段 $FQ$ 的垂直平分线经过点 $P$。

故选：B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 定义是解析几何的基石： 很多考生会尝试设抛物线方程为 $y^2=2px$，然后求 $Q$ 点坐标、线段中点、斜率等，最后写出垂直平分线方程看它过哪个点。这种代数方法虽然可行，但在选择题中极其浪费时间。**“见焦点与准线，先想定义”**是最高效的策略。
• 几何对称美： 抛物线的这种性质在光学中也有应用（反射性质）。

📖【试题探源与推广】

Tip

如果我们进一步探究这根垂直平分线：

1. 切线关系： 实际上，线段 $FQ$ 的垂直平分线不仅经过点 $P$，它还是抛物线在点 $P$ 处的切线。
2. 特殊角： 若记垂直平分线为直线 $k$，则 $△PFQ$ 是一个等腰三角形，且 $k$ 是顶角 $\angle FPQ$ 的平分线。
3. 反射原理： 这一结论解释了为什么平行于主轴的光线经抛物面反射后会汇聚于焦点 $F$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.03 抛物线专题全总结

类题演练 (Links)

• 2013-山东卷理-11 单-抛物线性质
• 2013-新课标II卷理-11 单-抛物线定义
• 2013-江西卷理-14 填-抛物线定义