2013-山东卷理-11 单-抛物线性质

本题导读

本题考查抛物线，以及抛物线的几何性质。

📌【题干】

Question

（2013年山东卷(理)） 抛物线 $C_1:y=\frac{1}{2p}{x}^2$ ($p>0$) 的焦点与双曲线 $C_2:\frac{x^2}{3}-y^2=1$ 的右焦点的连线交 $C_1$ 于第一象限的点 $M$.若 $C_1$ 在点 $M$ 处的切线平行于 $C_2$ 的一条渐近线，则 $p=$()

A. $\frac{\sqrt{3}}{3}$　　　　　　B. $\frac{\sqrt{3}}{8}$　　　　　　C. $\frac{2\sqrt{3}}{3}$　　　　　　D. $\frac{4\sqrt{3}}{3}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 确定焦点坐标：
   • 抛物线标准式为 $x^2=2py$，焦点为 $F_1(0,\frac{p}{2})$。
   • 双曲线 $a^2=3,b^2=1⟹c=\sqrt{3+1}=2$，右焦点为 $F_2(2,0)$。
2. 确定连线方程：求出直线 $F_1{F}_2$ 的方程。
3. 利用导数求切线斜率：
   • 对抛物线 $y=\frac{1}{2p}{x}^2$ 求导得到 $y^{\prime }=\frac{x}{p}$。
   • 双曲线渐近线为 $y=\pm \frac{b}{a}x=\pm \frac{1}{\sqrt{3}}x$。
   • 切线平行于渐近线，根据 $M$ 在第一象限判定切线斜率 $k>0$（即 $k=\frac{\sqrt{3}}{3}$）。
4. 求点 $M$ 坐标并代入：由斜率相等求出 $M$ 的横坐标（含 $p$ 的表达式），代入直线 $F_1{F}_2$ 方程求解 $p$。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

第一步：确定几何要素。

• 抛物线 $C_1:x^2=2py$ 的焦点为 $F_1(0,\frac{p}{2})$。
• 双曲线 $C_2:\frac{x^2}{3}-\frac{y^2}{1}=1$ 的右焦点为 $F_2(2,0)$，渐近线方程为 $y=\pm \frac{1}{\sqrt{3}}x$。

第二步：求焦点连线方程。 直线 $F_1{F}_2$ 过 $(0,\frac{p}{2})$ 和 $(2,0)$，其截距式方程为： $\frac{x}{2}+\frac{y}{p/2}=1⟹\frac{x}{2}+\frac{2y}{p}=1\dots \text{(1)}$

第三步：利用切线斜率求 $M$ 点。 对 $y=\frac{1}{2p}{x}^2$ 求导得 $y^{\prime }=\frac{x}{p}$。 设 $M(x_0,y_0)$，则切线斜率 $k=\frac{x_0}{p}$。 因为切线平行于渐近线且 $M$ 在第一象限，故 $k=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$。 则 $x_0=\frac{\sqrt{3}}{3}p$。 代入抛物线方程得 $y_0=\frac{1}{2p}\cdot (\frac{\sqrt{3}p}{3}{)}^2=\frac{1}{2p}\cdot \frac{3p^2}{9}=\frac{p}{6}$。 即点 $M(\frac{\sqrt{3}p}{3},\frac{p}{6})$。

第四步：代入直线方程解 $p$。 将 $M$ 代入直线方程 ①： $\frac{\sqrt{3}p/3}{2}+\frac{2(p/6)}{p}=1$ $\frac{\sqrt{3}p}{6}+\frac{1}{3}=1$ $\frac{\sqrt{3}p}{6}=\frac{2}{3}$ $\sqrt{3}p=4⟹p=\frac{4}{\sqrt{3}}=\frac{4\sqrt{3}}{3}$

故正确答案为：D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：圆锥曲线的基本几何常数（焦点、渐近线）以及导数的几何意义。

核心方法：通过切线斜率锁定动点 $M$ 的横纵坐标与参数 $p$ 的比例关系。

避坑指南：- 抛物线方程形式：$y=\frac{1}{2p}{x}^2$ 是开口向上的，不要误看成开口向右。 - 渐近线选择：第一象限切点斜率为正，故选择 $k=\frac{b}{a}$ 而非 $k=-\frac{b}{a}$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：椭圆的焦点关系、导数在切线方程中的应用。

结论推广：若直线经过两轴截距 $(a,0)$ 和 $(0,b)$，其斜率为 $-\frac{b}{a}$。

方法推广：坐标解析法是解决圆锥曲线综合题的通用策略。遇到“切线”条件，优先考虑导数。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.01 导数定义与几何意义
• 20.03 导数研究单调性与极值最值
• 18.02 双曲线专题全总结

类题演练 (Links)

• 2026-天津卷-15 填-抛物线的性质
• 2024-北京卷-11 填-抛物线的性质
• 2026-新高考I卷-05 单-抛物线几何性质