2020-北京卷-15 填-函数图象识别

本题导读

本题考查变化率与导数的几何意义。核心在于数形结合法、斜率比较法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2020年北京卷）15. 为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理。排放未达标的企业要限期整改。设企业的污水排放量 $W$ 与时间 $t$ 的关系为 $W=f(t)$，用 $-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ 的大小评价在 $[a,b]$ 这段时间内企业污水治理能力的强弱。已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如图所示：

给出下列四个结论：

① 在 $[t_1,t_2]$ 这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；

② 在 $t_2$ 时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强；

③ 在 $t_3$ 时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标；

④ 甲企业在 $[0,t_1],[t_1,t_2],[t_2,t_3]$ 这三段时间中，在 $[0,t_1]$ 的污水治理能力最强。

其中所有正确结论的序号是 $\underline{}$。

🔍【思路分析】

破题导航

1. 深刻理解评价指标：

指标 $k^{\ast }=-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$。

• $\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ 是图象上点 $(a,f(a))$ 与 $(b,f(b))$ 连线的斜率 $k_{割}$。

• 因为污水排放量 $W$ 在减少，所以 $k_{割}<0$。

• 治理能力越强 $⟺k^{\ast }$ 越大 $⟺k_{割}$ 越小（即连线越“陡”）。

2. 逐项判定：

• 结论 ①（区间比较）： 观察 $[t_1,t_2]$ 连线的斜率。甲的图象在该段明显比乙下降得更剧烈，斜率更小，故治理能力更强。

• 结论 ②（时刻比较）： 时刻的治理能力对应图象在各点切线的斜率。观察 $t_2$ 处，甲的切线比乙更陡峭（向下倾斜更厉害），斜率更小，故治理能力更强。

• 结论 ③（达标判定）： 图中的虚线应为“污水达标排放量”。在 $t_3$ 时刻，甲、乙的图象都在虚线下方，说明均已达标。

• 结论 ④（自身纵向比较）： 比较甲在三个区间的割线斜率。显然在 $[t_1,t_2]$ 段甲的图象最陡，治理能力最强，而非 $[0,t_1]$。

✅【答案】

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①②③

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 ①②③

【解析过程】

定义治理能力 $P=-\frac{\Delta W}{\Delta t}=-k_{割}$。

1. 对于 ①： 连结甲、乙在 $t_1,t_2$ 对应的点。甲连线的倾斜程度大于乙，即 $k_{甲}<k_{乙}<0$，则 $-k_{甲}>-k_{乙}$。故甲治理能力强。①正确。

2. 对于 ②： $t_2$ 时刻的治理能力看切线斜率 $k_{切}$。由图可见，甲在 $t_2$ 处的切线比乙更陡，$k_{甲,切}<k_{乙,切}<0$，则 $-k_{甲,切}>-k_{乙,切}$。②正确。

3. 对于 ③： 观察图象终点。在 $t_3$ 时，甲、乙对应的 $W$ 值均低于达标排放量（图中虚线），故均达标。③正确。

4. 对于 ④： 观察甲的图象。在 $[t_1,t_2]$ 段图象下行最快，连线斜率最小，其相反数（治理能力）最大。④错误。

故答案为：①②③。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 斜率的相反数： 这是本题唯一的弯绕。通常斜率越大代表增长越快，但本题污水是在“减少”，且治理能力是用斜率的“负数”定义的，所以图象越陡峭，治理能力越强。

• 瞬时与平均： 区间 $[a,b]$ 对应割线，时刻 $t$ 对应切线。

• 北京卷的社会责任感： 题目背景贴近社会热点（环保），考查学生用数学眼光观察现实世界的能力。

📖【试题探源与推广】

Tip

在物理和经济学中，类似的转化非常多：

1. 位移-时间图象： 斜率代表速度。

2. 成本-产量图象： 斜率代表边际成本。

3. 本题模型： 污水治理能力实际上就是排放量对时间的变化率的绝对值。在整改过程中，如果 $f^{\prime \prime }(t)<0$（凸函数段），说明治理效率在加速；如果 $f^{\prime \prime }(t)>0$（凹函数段），说明治理进入平台期，效率在减速。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.01 导数定义与几何意义

• 08.01 函数图象变换、模型与零点

类题演练 (Links)

• 2005-江西卷理-07 单-导数的几何意义

• 2009-福建卷文-15 填-导数切线存在

• 2013-广东卷理-10 填-切线斜率